Verifique se o operador linear dado é diagonalizável.
b. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um operador linear dado é diagonalizável. Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que transformam vetores de um espaço vetorial para outro de forma linear. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes, autovalores, autovetores e o conceito de diagonalização.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação linear . A transformação dada é:
Isso significa que a matriz que representa é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 0 0 & 2 - lambda & 0 -1 & 1 & 2 - lambda é a matriz identidade e det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot [(2 - lambda)(2 - lambda) - 0 cdot 1] - 0 + 0 = (2 - lambda)^3 representa os autovalores.
Vamos calcular:
(2 - lambda)^3 = 0
O determinante dessa matriz é:
lambda = 2
Então, a equação característica é:
O que nos dá o autovalor:
Com multiplicidade 3.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor (A - 2I)v = 0 . Para isso, resolvemos: 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Substituindo:
[ - v1 + v2 = 0 implies v1 = v2 v = a a b
]
Das três equações, a única não trivial é:
E é livre. Então, os autovetores são da forma:
Onde e são números reais.
Passo 5
Para a matriz ser diagonalizável, precisamos que o número de autovetores linearmente independentes seja igual à dimensão da matriz, que aqui é 3. Observamos que os autovetores são formados por dois parâmetros e , o que nos dá apenas duas direções independentes.
Então, temos apenas dois autovetores linearmente independentes para um autovalor de multiplicidade 3, o que não é suficiente para diagonalizar a matriz.