Considere R^2 com o produto interno usual. Determine o ângulo entre os vetores:
b. (raiz22, raiz22) e (raiz32, raiz32).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço R^2 usando o produto interno usual. Para isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona o produto interno dos vetores com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dados:
u = (raiz22, raiz22) e v = (raiz32, raiz32)

Passo 3

O produto interno de dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é calculado assim:
u cdot v = u1v1 + u2v2
Vamos calcular esse produto para os vetores dados.

Passo 4

Calculando o produto interno:
u cdot v = (raiz22)(raiz32) + (raiz22)(raiz32) = raiz64 + raiz64 = raiz62

Passo 5

Agora, precisamos calcular as normas (ou comprimentos) dos vetores u e v. A norma de um vetor u = (u1, u2) é dada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2

Passo 6

Calculando as normas:
|u| = raiz(raiz22)^2 + (raiz22)^2 = raiz24 + 24 = raiz1 = 1
|v| = raiz(raiz32)^2 + (raiz32)^2 = raiz34 + 34 = raiz64 = raiz62

Passo 7

Com o produto interno e as normas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo theta entre os vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = raiz621 cdot raiz62 = raiz62raiz62 = 1

Passo 8

Quando o cosseno do ângulo é 1, isso significa que o ângulo theta é 0 radianos, ou seja, os vetores são paralelos e apontam na mesma direção.

Resposta

O ângulo entre os vetores é 0 radianos.

Exercícios relacionados

Calcular todas as matrizes A, quadradas reais de ordem 2 , tais que A^2=A.
Considere a questão:
Verifique se S é um subespaço vetorial de R^3, para adição e multiplicação por escalar, usuais. Justifique.Um estudante respondeu da seguinte maneira:
Linha 2: i) u+v=(x1, y1, raizx1+y1)+(x2, y2, raizx2+y2)=(x1+x2, y1+y2, raizx1+x2+y1+y2) in S
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever
Linha 2:
Verifique se o operador linear dado é diagonalizável.
b. T: R^2 R^2, T(x, y, z)=(2 x, 2 y,-x+y+2 z).
Verifique se cada um dos seguintes conjuntos forma uma base de R^4. Justifique com argumentos matemáticos.
b) (1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)