Considere a questão:
Verifique se
é um subespaço vetorial de
, para adição e multiplicação por escalar, usuais. Justifique.Um estudante respondeu da seguinte maneira:
Linha 2: i)
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever
Linha 2:
Verifique se
Linha 2: i)
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever
Linha 2:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
usando as operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar lembrar que um subespaço deve satisfazer três propriedades:
- Conter o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Ser fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos focar no segundo ponto agora.
Passo 2
Vamos analisar a Linha 2 da solução do estudante:
Linha 2: i)
O que está acontecendo aqui?
O estudante está tentando somar dois vetores
e
que pertencem a
. Cada vetor tem a terceira componente definida como a raiz quadrada da soma das duas primeiras componentes.
Onde está o erro?
Ao somar os vetores, a terceira componente do resultado deveria ser a soma das raízes quadradas das terceiras componentes dos vetores originais, ou seja:
Mas o estudante escreveu:
Isso está errado porque a raiz quadrada da soma não é igual à soma das raízes quadradas.
Passo 3
Vamos corrigir a Linha 2:
Linha 2: i)
Resposta
Linha 2 foi corrigida para refletir a soma correta das terceiras componentes dos vetores
e
.
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Calcule o único valor de
que faz com que
não seja um conjunto gerador de
.
Considere o subespaço
do
gerado pelos vetores
.
vetor
pertence a
? Justifique.
Calcular todas as matrizes
, quadradas reais de ordem 2 , tais que
.
Considere
com o produto interno usual. Determine o ângulo entre os vetores:
b. e
.
b.