Calcular a transformada de Fourier bilateral do sinal continuo:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a transformada de Fourier bilateral do sinal contínuo dado:
Isso envolve trabalhar com funções exponenciais, cossenoide, e funções de degrau unitário. Vamos precisar usar propriedades da transformada de Fourier, como a linearidade, deslocamento no tempo e transformadas conhecidas de funções básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o sinal
em três partes para facilitar a análise:
A transformada de Fourier é linear, então podemos calcular a transformada de cada parte individualmente e depois somar os resultados.
Passo 3
Transformada de
:
Primeiro, vamos lembrar que:
Como a transformada de Fourier de
é conhecida, podemos usar essa fórmula diretamente. A fase
vai introduzir um deslocamento de fase na transformada.
A transformada de
será:
Passo 4
Transformada de
:
Aqui,
é a função degrau unitário deslocada para
. A transformada de Fourier de
é
.
Usando a propriedade de deslocamento no tempo:
Aplicando isso, temos:
Passo 5
Transformada de
:
Aqui,
significa que a função está ativa entre
e
. Podemos reescrever isso como:
A transformada de Fourier de
é
.
Aplicando isso:
Resposta
Somando todas as partes, a transformada de Fourier bilateral do sinal
é: