Calcular a transformada de Fourier bilateral do sinal continuo:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a transformada de Fourier bilateral do sinal contínuo dado:
Isso envolve trabalhar com funções exponenciais, cossenoide, e funções de degrau unitário. Vamos precisar usar propriedades da transformada de Fourier, como a linearidade, deslocamento no tempo e transformadas conhecidas de funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o sinal em três partes para facilitar a análise:
A transformada de Fourier é linear, então podemos calcular a transformada de cada parte individualmente e depois somar os resultados.

Passo 3

Transformada de :
Primeiro, vamos lembrar que:
Como a transformada de Fourier de é conhecida, podemos usar essa fórmula diretamente. A fase vai introduzir um deslocamento de fase na transformada.
A transformada de será:

Passo 4

Transformada de :
Aqui, é a função degrau unitário deslocada para . A transformada de Fourier de é .
Usando a propriedade de deslocamento no tempo:
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Transformada de :
Aqui, significa que a função está ativa entre e . Podemos reescrever isso como:
A transformada de Fourier de é .
Aplicando isso:

Resposta

Somando todas as partes, a transformada de Fourier bilateral do sinal é:

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(dados do fio: );