Calcular a transformada de Fourier bilateral do sinal continuo:
x(t)=e^-4|t| cos (6 t+pi / 3)+t cdot u(t-2)+e^-3 t u(t-4) u(t-6)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a transformada de Fourier bilateral do sinal contínuo dado:
x(t) = e^-4|t| cos (6 t+pi / 3) + t cdot u(t-2) + e^-3 t u(t-4) u(t-6)
Isso envolve trabalhar com funções exponenciais, cossenoide, e funções de degrau unitário. Vamos precisar usar propriedades da transformada de Fourier, como a linearidade, deslocamento no tempo e transformadas conhecidas de funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o sinal em três partes para facilitar a análise:
A transformada de Fourier é linear, então podemos calcular a transformada de cada parte individualmente e depois somar os resultados.

Passo 3

Transformada de cos(a t + phi) = cos(a t) cos(phi) - sin(a t) sin(phi) :
Primeiro, vamos lembrar que:
X1(omega) = 44^2 + (omega - 6)^2 cos(pi3) + 44^2 + (omega + 6)^2 cos(pi3)
Como a transformada de Fourier de é conhecida, podemos usar essa fórmula diretamente. A fase vai introduzir um deslocamento de fase na transformada.
A transformada de será:

Passo 4

Transformada de Fx(t - t0) = e^-j omega t0 X(omega) :
Aqui, X2(omega) = e^-j omega 2 ( 1j omega^2 ) é a função degrau unitário deslocada para . A transformada de Fourier de é .
Usando a propriedade de deslocamento no tempo:
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Transformada de x3(t) = e^-3 t [u(t-4) - u(t-6)] :
Aqui, X3(omega) = e^-j omega 43 + j omega - e^-j omega 63 + j omega significa que a função está ativa entre e . Podemos reescrever isso como:
A transformada de Fourier de é .
Aplicando isso:

Resposta

Somando todas as partes, a transformada de Fourier bilateral do sinal X(omega) = 416 + (omega - 6)^2 cos(pi3) + 416 + (omega + 6)^2 cos(pi3) + e^-j 2 omegaj omega^2 + e^-j 4 omega3 + j omega - e^-j 6 omega3 + j omega é:

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