Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace da função , que é definida de forma diferente em cada intervalo de tempo. A matéria aqui envolve transformadas integrais e funções por partes. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta e aplicar a definição da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela é igual a:
Isso significa que só é diferente de zero entre e .
Passo 3
A Transformada de Laplace de uma função é definida como:
Como é zero fora do intervalo , a integral vai de a :
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Seja , então quando , , e quando , . A integral fica:
Fizemos sair da integral porque é constante.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral . Isso é uma integração por partes, onde:
Então, calculamos e . Aplicando a fórmula de integração por partes :
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Distribuindo :
Organizando os termos:
Passo 7
Podemos fatorar para simplificar:
Mas para deixar de maneira mais compacta, podemos escrever: