Calcular a transformada de Laplace de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace da função , que é definida de forma diferente em cada intervalo de tempo. A matéria aqui envolve transformadas integrais e funções por partes. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta e aplicar a definição da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é igual a:
Isso significa que só é diferente de zero entre e .

Passo 3

A Transformada de Laplace de uma função é definida como:
Como é zero fora do intervalo , a integral vai de a :

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Seja , então quando , , e quando , . A integral fica:
Fizemos sair da integral porque é constante.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Isso é uma integração por partes, onde:
Então, calculamos e . Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
Distribuindo :
Organizando os termos:

Passo 7

Podemos fatorar para simplificar:
Mas para deixar de maneira mais compacta, podemos escrever:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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Calcule os limites abaixo, se existirem:
j)
Determine a transformada de Laplace da seguinte função:
Calcule os limites abaixo, se existirem:
o)
Dado o PVI:
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace e verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.