Calcule os limites abaixo, se existirem:
j) lim x 0|e^sen x-e^xsen x-x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais, funções trigonométricas e a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites do tipo ou .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0.
No numerador, temos . Sabemos que e , então quando vai para 0, e ambos se aproximam de 1. Portanto, o numerador se aproxima de .
No denominador, temos . Sabemos que , então o denominador também se aproxima de .
Então, temos uma forma indeterminada , que é um sinal de que podemos usar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador com respeito a .
Para o numerador :
  • A derivada de em relação a é (pela regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é .
Então, a derivada do numerador é .
Para o denominador :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 1.
Então, a derivada do denominador é .

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma no limite das derivadas:
limx to 0 | e^sin x cdot cos x - e^xcos x - 1 |
Vamos analisar esse novo limite. Novamente, vamos verificar o que acontece quando se aproxima de 0.
No numerador:
  • se aproxima de
  • se aproxima de
  • se aproxima de
Então, o numerador se aproxima de .
No denominador:
  • se aproxima de 1
  • Então, se aproxima de
Parece que ainda temos uma forma indeterminada , então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 5

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador.
Para o numerador :
  • A derivada de usa a regra do produto:
    • Derivada de é
    • Derivada de é
    • Então,
  • A derivada de é
Então, a derivada do numerador é .
Para o denominador :
  • A derivada de é
  • A derivada de é 0
Então, a derivada do denominador é .

Passo 6

Aplicando novamente a Regra de L’Hôpital, nosso limite agora é:
limx to 0 | e^sin x (cos^2 x - sin x) - e^x-sin x |
Vamos simplificar isso:
limx to 0 | e^sin x (cos^2 x - sin x) - e^x-sin x | = limx to 0 | e^x (cos^2 x - sin x) - e^x-sin x |
(Nota: Aqui, usamos que limx to 0 | e^x (cos^2 x - sin x - 1)-sin x | para cos^2 x approx (1 - x^22)^2 = 1 - x^2 + x^44 pequeno, já que cos^2 x - sin x - 1 approx (1 - x^2) - x - 1 = -x^2 - x .)
Agora, fatoramos limx to 0 | e^x (-x^2 - x)-x | = limx to 0 | e^x (x^2 + x)x | = limx to 0 | e^x (x + 1) | :
| e^0 (0 + 1) | = | 1 cdot 1 | = 1
Quando se aproxima de 0, e , então:
Substituindo esses aproximados:
Então, o limite fica:
Agora, substituímos :

Resposta

O limite vale 1.

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