Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais, funções trigonométricas e a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites do tipo ou .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0.
No numerador, temos . Sabemos que e , então quando vai para 0, e ambos se aproximam de 1. Portanto, o numerador se aproxima de .
No denominador, temos . Sabemos que , então o denominador também se aproxima de .
Então, temos uma forma indeterminada , que é um sinal de que podemos usar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador com respeito a .
Para o numerador :
A derivada de em relação a é (pela regra da cadeia).
A derivada de em relação a é .
Então, a derivada do numerador é .
Para o denominador :
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é 1.
Então, a derivada do denominador é .
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma no limite das derivadas:
Vamos analisar esse novo limite. Novamente, vamos verificar o que acontece quando se aproxima de 0.
No numerador:
se aproxima de
se aproxima de
se aproxima de
Então, o numerador se aproxima de .
No denominador:
se aproxima de 1
Então, se aproxima de
Parece que ainda temos uma forma indeterminada , então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 5
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador.
Para o numerador :
A derivada de usa a regra do produto:
Derivada de é
Derivada de é
Então,
A derivada de é
Então, a derivada do numerador é .
Para o denominador :
A derivada de é
A derivada de é 0
Então, a derivada do denominador é .
Passo 6
Aplicando novamente a Regra de L’Hôpital, nosso limite agora é: