Dado o PVI:
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace e verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.

Passo 1

Vamos resolver o problema: com as condições iniciais e . Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que nos ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais simples de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas:
Como e , substituímos na equação transformada:

Passo 3

Agora, vamos isolar :

Passo 4

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de . Isso envolve decompor em frações parciais. Vamos simplificar a expressão:
Usamos a técnica de frações parciais para reescrever como soma de termos mais simples que sabemos transformar de volta.

Passo 5

Após decompor em frações parciais e aplicar a Transformada inversa, obtemos:
Isso significa que a solução da equação diferencial no domínio do tempo é uma combinação de funções seno e cosseno multiplicadas por .

Resposta

A solução do PVI é:
Verificamos que essa solução satisfaz a equação diferencial original e as condições iniciais fornecidas.

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Calcule os limites abaixo, se existirem:
o)
Calcular a transformada de Laplace de
Calcule os limites abaixo, se existirem:
r)
Calcule