Dado o PVI:
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace e verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.
Passo 1
Vamos resolver o problema: com as condições iniciais e . Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que nos ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais simples de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas:
Como e , substituímos na equação transformada:
Passo 3
Agora, vamos isolar :
Passo 4
Para encontrar , precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de . Isso envolve decompor em frações parciais. Vamos simplificar a expressão:
Usamos a técnica de frações parciais para reescrever como soma de termos mais simples que sabemos transformar de volta.
Passo 5
Após decompor em frações parciais e aplicar a Transformada inversa, obtemos:
Isso significa que a solução da equação diferencial no domínio do tempo é uma combinação de funções seno e cosseno multiplicadas por .
Resposta
A solução do PVI é:
Verificamos que essa solução satisfaz a equação diferencial original e as condições iniciais fornecidas.