Determine a transformada de Laplace da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A matéria aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas básicas de funções exponenciais, funções polinomiais multiplicadas por exponenciais, funções trigonométricas e constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma operação que transforma uma função no tempo em uma função no domínio da frequência . A fórmula geral é:
Mas, para facilitar, usamos tabelas e propriedades das transformadas mais comuns.
Passo 3
Vamos dividir a função em três partes para facilitar a aplicação da transformada:
Vamos encontrar a transformada de cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.
Passo 4
Primeiro, a transformada de . Sabemos que a transformada de é dada por:
Aqui, e . Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, a transformada de . A fórmula para a transformada de é:
Aqui, . Então:
Passo 6
Por fim, a transformada de . A transformada de uma constante é:
Então:
Resposta
Somando todas as partes, a transformada de Laplace da função é: