Determine a transformada de Laplace da seguinte função: f(t) = 2 t^3 e^(-2 t) + sen(4 t) + 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A matéria aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas básicas de funções exponenciais, funções polinomiais multiplicadas por exponenciais, funções trigonométricas e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma operação que transforma uma função no tempo em uma função no domínio da frequência . A fórmula geral é:
Mas, para facilitar, usamos tabelas e propriedades das transformadas mais comuns.

Passo 3

Vamos dividir a função em três partes para facilitar a aplicação da transformada:
Vamos encontrar a transformada de cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.

Passo 4

Primeiro, a transformada de . Sabemos que a transformada de é dada por:
Aqui, e . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, a transformada de . A fórmula para a transformada de é:
Aqui, . Então:

Passo 6

Por fim, a transformada de . A transformada de uma constante é:
Então:

Resposta

Somando todas as partes, a transformada de Laplace da função é:

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