Calcule os limites abaixo, se existirem:
o)
o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções envolvidas quando
se aproxima de zero pelo lado positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte separadamente. Temos
e
.
Vamos começar com
. Sabemos que quando
,
, e
. Então,
está se aproximando de zero.
Passo 3
Agora, olhe para
. Como
está se aproximando de zero, estamos dividindo 1 por um número que está indo para zero, o que significa que essa parte vai para
ou
dependendo do sinal.
Passo 4
Vamos verificar o comportamento de
quando
. Para valores de
próximos de zero,
, então
. Portanto,
vai para
.
Passo 5
Agora, vamos analisar
. Podemos dividir
por
para simplificar:
Quando
,
vai para
, então
também vai para
.
Passo 6
Agora, temos que o limite original é a diferença entre duas expressões que tendem a
:
Essa forma é indeterminada, o que significa que precisamos encontrar uma maneira de resolver essa expressão para determinar o comportamento real do limite.
Passo 7
Vamos reescrever o limite combinando as frações:
Agora, podemos combinar os termos de forma a facilitar a análise.
Passo 8
Observamos que tanto
quanto
estão crescendo sem limite, mas precisamos ver qual cresce mais rapidamente. Para isso, vamos usar a expansão em série de
para
próximo de zero:
Aproximando para os termos de primeiro grau:
Então:
Passo 9
Substituindo essa aproximação no limite:
Portanto, à medida que
se aproxima de zero pelo lado positivo, a expressão tende a
.
Resposta
O limite é
.