Calcule os limites abaixo, se existirem:
o)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções envolvidas quando se aproxima de zero pelo lado positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte separadamente. Temos e .
Vamos começar com . Sabemos que quando , , e . Então, está se aproximando de zero.

Passo 3

Agora, olhe para . Como está se aproximando de zero, estamos dividindo 1 por um número que está indo para zero, o que significa que essa parte vai para ou dependendo do sinal.

Passo 4

Vamos verificar o comportamento de quando . Para valores de próximos de zero, , então . Portanto, vai para .

Passo 5

Agora, vamos analisar . Podemos dividir por para simplificar:
Quando , vai para , então também vai para .

Passo 6

Agora, temos que o limite original é a diferença entre duas expressões que tendem a :
Essa forma é indeterminada, o que significa que precisamos encontrar uma maneira de resolver essa expressão para determinar o comportamento real do limite.

Passo 7

Vamos reescrever o limite combinando as frações:
Agora, podemos combinar os termos de forma a facilitar a análise.

Passo 8

Observamos que tanto quanto estão crescendo sem limite, mas precisamos ver qual cresce mais rapidamente. Para isso, vamos usar a expansão em série de para próximo de zero:
Aproximando para os termos de primeiro grau:
Então:

Passo 9

Substituindo essa aproximação no limite:
Portanto, à medida que se aproxima de zero pelo lado positivo, a expressão tende a .

Resposta

O limite é .

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j)
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r)