Calcular a Transformada de Laplace inversa de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace inversa de
. Isso está na área de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar propriedades das Transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso é uma diferença de quadrados, pois
e
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos fatorar ainda mais
, que também é uma diferença de quadrados:
Então, o denominador completo fica:
Passo 4
Com o denominador fatorado, podemos reescrever
:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace inversa.
Passo 5
Assumimos que podemos escrever
como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 7
Para encontrar os valores de
e
, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
- Quando
:
- Quando
:
Passo 8
Agora, vamos escolher um valor de
diferente para encontrar
e
. Vamos usar
:
Substituindo
e
:
Passo 9
Por último, para encontrar
, podemos comparar os coeficientes dos termos de
na equação original. Observando que o lado direito da equação após a multiplicação deve igualar o lado esquerdo para todos os valores de
, podemos concluir que
porque não há termo de
no lado esquerdo.
Passo 10
Agora que temos todos os valores:
Portanto, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 11
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente usando as tabelas de transformadas:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A Transformada de Laplace inversa de
é: