Calcular a Transformada de Laplace inversa de:
F(s) = raiz(2) / (s^4 - 16)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace inversa de . Isso está na área de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar propriedades das Transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de quadrados, pois e . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos fatorar ainda mais , que também é uma diferença de quadrados:
Então, o denominador completo fica:

Passo 4

Com o denominador fatorado, podemos reescrever :
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace inversa.

Passo 5

Assumimos que podemos escrever como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 7

Para encontrar os valores de e , vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.
  • Quando :
  • Quando :

Passo 8

Agora, vamos escolher um valor de diferente para encontrar e . Vamos usar :
Substituindo e :

Passo 9

Por último, para encontrar , podemos comparar os coeficientes dos termos de na equação original. Observando que o lado direito da equação após a multiplicação deve igualar o lado esquerdo para todos os valores de , podemos concluir que porque não há termo de no lado esquerdo.

Passo 10

Agora que temos todos os valores:
Portanto, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 11

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente usando as tabelas de transformadas:
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

A Transformada de Laplace inversa de é:

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