Resolva a EDO homogênea
fazendo a mudança de variáveis
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea dada por:
Para resolver essa equação, vamos usar o método de substituição com a variável
. Esse método é útil para EDOs homogêneas porque simplifica a equação, tornando-a mais fácil de resolver.
Passo 2
Vamos começar fazendo a substituição
. Isso significa que:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra do produto, temos:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora, temos a seguinte equação:
Vamos isolar
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Agora, escrevemos a equação de forma separável:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 6
Vamos integrar os dois lados da equação:
Para a integral à esquerda, fazemos a substituição
, então
. Isso simplifica para:
A integral à direita é:
Passo 7
Igualando as integrais:
Podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é: