Resolva a EDO homogênea d y/d x = (3 y^2 - x^2) / (2 x y) fazendo a mudança de variáveis v = y/x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea dada por:
Para resolver essa equação, vamos usar o método de substituição com a variável . Esse método é útil para EDOs homogêneas porque simplifica a equação, tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição . Isso significa que:
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra do produto, temos:

Passo 3

Substituímos e na equação original:
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Agora, temos a seguinte equação:
Vamos isolar :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Agora, escrevemos a equação de forma separável:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 6

Vamos integrar os dois lados da equação:
Para a integral à esquerda, fazemos a substituição , então . Isso simplifica para:
A integral à direita é:

Passo 7

Igualando as integrais:
Podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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