Sejam C1 o arco da parábola y=1-x^2 no plano x y compreendido entre os pontos (-1,0) e (1,0), e C2 o segmento de reta que liga estes mesmos pontos. Considere o campo vetorial dado por
F(x, y)=(y^2+1, y e^y^2+k x y)
Aqui, k é uma constante.
(b) (2,0 pts) Determine o valor de k para o qual o campo vetorial F do enunciado seja conservativo. Para este valor de k, calcule integralC1 F cdot d r, onde C1 é o arco de parábola descrito no enunciado. Justifique seu argumento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre campos vetoriais e quando eles são conservativos. A gente precisa descobrir o valor da constante que faz com que o campo vetorial dado seja conservativo. Depois, usando esse , vamos calcular uma integral ao longo de um arco de parábola. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como verificar essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial F = nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y ) é conservativo se existe uma função potencial partial Ppartial y = partial Qpartial x tal que:
Uma condição necessária para que seja conservativo, em um domínio simplesmente conectado, é que as derivadas parciais misturadas sejam iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos aplicar essa condição ao nosso campo vetorial:
F(x, y) = (y^2 + 1, ; y e^y^2 + k x y)
Aqui, temos:
P = y^2 + 1 e Q = y e^y^2 + k x y
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial y = 2y
partial Qpartial x = k y

Passo 4

Para que o campo seja conservativo, devemos ter:
partial Ppartial y = partial Qpartial x Rightarrow 2y = k y
Podemos dividir ambos os lados por 2 = k (desde que k = 2 ):
Então, encontramos que:

Passo 5

Agora que temos integralC1 F cdot dr , sabemos que o campo vetorial é conservativo. Isso significa que a integral de linha ao longo de qualquer caminho entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais.
No nosso caso, queremos calcular:
phi(1, 0) - phi(-1, 0)
Onde phi(1, 0) - phi(-1, 0) = 0 é o arco da parábola de até .
Como é conservativo, essa integral é:
Mas como ambos os pontos têm , e a função potencial só depende de e de forma que a diferença será zero:

Resposta

O valor de é igual a 2, e a integral vale 0.

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