Sejam
o arco da parábola
no plano
compreendido entre os pontos
e
, e
o segmento de reta que liga estes mesmos pontos. Considere o campo vetorial dado por
Aqui,
é uma constante.
(b) (2,0 pts) Determine o valor de
para o qual o campo vetorial
do enunciado seja conservativo. Para este valor de
, calcule
, onde
é o arco de parábola descrito no enunciado. Justifique seu argumento.
(b) (2,0 pts) Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre campos vetoriais e quando eles são conservativos. A gente precisa descobrir o valor da constante
que faz com que o campo vetorial dado seja conservativo. Depois, usando esse
, vamos calcular uma integral ao longo de um arco de parábola. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como verificar essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Uma condição necessária para que
seja conservativo, em um domínio simplesmente conectado, é que as derivadas parciais misturadas sejam iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos aplicar essa condição ao nosso campo vetorial:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Para que o campo seja conservativo, devemos ter:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Então, encontramos que:
Passo 5
Agora que temos
, sabemos que o campo vetorial é conservativo. Isso significa que a integral de linha ao longo de qualquer caminho entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais.
No nosso caso, queremos calcular:
Onde
é o arco da parábola de
até
.
Como
é conservativo, essa integral é:
Mas como ambos os pontos têm
, e a função potencial
só depende de
e
de forma que a diferença será zero:
Resposta
O valor de
é igual a 2, e a integral
vale 0.