Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(d) f(x)=x+1x-1 cdot(1+2 sumn=1^infty x^n, R=1 e I=(-1,1). )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em séries de potência para a função dada e determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. A função que vamos trabalhar é:
f(x) = x+1x-1 cdot (1 + 2 sumn=1^infty x^n)
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como manipular expressões algébricas para chegar a uma série de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na parte da série dentro da função:
1 + 2 sumn=1^infty x^n
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
sumn=0^infty x^n = 11 - x para |x| < 1
No nosso caso, a soma começa em sumn=1^infty x^n = sumn=0^infty x^n - x^0 = 11 - x - 1 = x1 - x , então:
1 + 2 sumn=1^infty x^n = 1 + 2 cdot x1 - x = 1 - x + 2x1 - x = 1 + x1 - x
Então, substituindo de volta na nossa expressão:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na função original:
f(x) = x + 1x - 1 cdot 1 + x1 - x
Vamos simplificar essa expressão. Note que:
x + 1x - 1 = -(1 + x)1 - x
Portanto:
f(x) = -(1 + x)1 - x cdot 1 + x1 - x = -(1 + x)^2(1 - x)^2

Passo 4

Agora, expandimos (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 :
f(x) = -1 + 2x + x^2(1 - x)^2
Então:
f(x) = -(1 + 2x + x^2) cdot 1(1 - x)^2
Podemos reescrever isso como:
1(1 - x)^2 = sumn=0^infty (n + 1) x^n para |x| < 1
Sabemos que a série para é:

Passo 5

Multiplicando a série pela expressão f(x) = -(1 + 2x + x^2) sumn=0^infty (n + 1) x^n , temos:
f(x) = -sumn=0^infty (n + 1) x^n - 2sumn=0^infty (n + 1) x^n+1 - sumn=0^infty (n + 1) x^n+2
Vamos distribuir a multiplicação:
-2summ=1^infty m x^m
Agora, ajustamos os índices das somas para que todos comecem com -sumk=2^infty (k - 1) x^k :
  1. Primeiro termo já está com começando em 0.
  2. No segundo termo, fazemos , então:
  3. No terceiro termo, fazemos , então:

Passo 6

Agora, reindexamos todas as somas para começarem com f(x) = -sumn=0^infty (n + 1) x^n - 2sumn=1^infty n x^n - sumn=2^infty (n - 1) x^n :
-(n + 1) x^n - 2n x^n - (n - 1) x^n = -(n + 1 + 2n + n - 1) x^n = -4n x^n
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Para -(0 + 1) x^0 = -1 :
-(1 + 1) x^1 - 2 cdot 1 x^1 = -4x
E para e , temos termos separados:
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Então, juntando tudo, a série fica:
f(x) = -1 - 4x - sumn=2^infty 4n x^n
Podemos escrever isso de forma mais compacta como:
f(x) = -1 - 4x - 4sumn=2^infty n x^n

Passo 8

Para expressar toda a série a partir de f(x) = -1 - 4x - 4sumn=2^infty n x^n = -1 - 4x - 4( sumn=0^infty n x^n - 0 cdot x^0 - 1 cdot x^1 ) , observamos que para f(x) = -1 - 4x - 4( sumn=0^infty n x^n - x ) = -1 - 4x - 4sumn=0^infty n x^n + 4x :
f(x) = -1 - 4sumn=0^infty n x^n
Simplificando:
Os termos se cancelam, então:

Passo 9

Finalmente, a representação em série de potência para f(x) = -1 - 4sumn=0^infty n x^n é:

Passo 10

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que para a série geométrica , o raio de convergência é , ou seja, a série converge para .
Como a nossa série é uma combinação de séries geométricas e seus derivados, o raio de convergência permanece o mesmo, .

Passo 11

O intervalo de convergência I = (-1, 1) é o conjunto de valores de para os quais a série converge. Com , temos:

Resposta

A representação em série de potência da função é:
f(x) = -1 - 4sumn=0^infty n x^n
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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