Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(d)
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em séries de potência para a função dada e determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. A função que vamos trabalhar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como manipular expressões algébricas para chegar a uma série de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na parte da série dentro da função:
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
No nosso caso, a soma começa em
, então:
Então, substituindo de volta na nossa expressão:
Passo 3
Agora, substituímos essa simplificação na função original:
Vamos simplificar essa expressão. Note que:
Portanto:
Passo 4
Agora, expandimos
:
Então:
Podemos reescrever isso como:
Sabemos que a série para
é:
Passo 5
Multiplicando a série pela expressão
, temos:
Vamos distribuir a multiplicação:
Agora, ajustamos os índices das somas para que todos comecem com
:
- Primeiro termo já está com
começando em 0. - No segundo termo, fazemos
, então: - No terceiro termo, fazemos
, então:
Passo 6
Agora, reindexamos todas as somas para começarem com
:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Para
:
E para
e
, temos termos separados:
- Para
: - Para
:
Passo 7
Então, juntando tudo, a série fica:
Podemos escrever isso de forma mais compacta como:
Passo 8
Para expressar toda a série a partir de
, observamos que para
:
Simplificando:
Os termos
se cancelam, então:
Passo 9
Finalmente, a representação em série de potência para
é:
Passo 10
Agora, vamos determinar o raio de convergência
dessa série. Sabemos que para a série geométrica
, o raio de convergência é
, ou seja, a série converge para
.
Como a nossa série é uma combinação de séries geométricas e seus derivados, o raio de convergência permanece o mesmo,
.
Passo 11
O intervalo de convergência
é o conjunto de valores de
para os quais a série converge. Com
, temos:
Resposta
A representação em série de potência da função é:
O intervalo de convergência é
e o raio de convergência é
.