Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais e vamos usar a Transformada de Laplace para resolver. Precisamos transformar a equação, aplicar as condições iniciais e depois fazer a transformada inversa para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
E as condições iniciais:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é , e de é . Como , isso simplifica as coisas.
Aplicando em cada termo:
E do lado direito:
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação original:
Vamos juntar os termos com :
Passo 5
Isolando :
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão. Primeiro, completamos o quadrado no denominador :
Então, nossa expressão fica:
Passo 7
Vamos decompor em frações parciais para facilitar a transformada inversa. Para o primeiro termo, usamos a tabela de transformadas de Laplace para produtos e convoluções. Já o segundo termo é mais direto.
Após decomposição e aplicação da Transformada Inversa de Laplace, encontramos: