Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as três primeiras derivadas da função . Neste caso, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções compostas e usar algumas regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada de uma função em relação a é , onde é a derivada de . Aqui, , então precisamos encontrar .
A derivada de é . Então, a primeira derivada de será:

Passo 3

Agora vamos para a segunda derivada. Precisamos derivar . Vamos aplicar a regra do produto, já que temos um produto de e .
A derivada de já sabemos que é , e a derivada de é .
Então, a segunda derivada fica:

Passo 4

Vamos agora calcular a terceira derivada, . Tomamos a segunda derivada e aplicamos a regra do produto novamente.
Primeiro, derivamos , que é , e depois derivamos .
Derivando :
Então, a terceira derivada é:
Podemos simplificar isso para:

Resposta

As três primeiras derivadas da função são:

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Seja . Calcule as 4 primeiras derivadas de .
Dada a função:
Mostre que não existe .