Dada a função:
Mostre que não existe
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a derivada de
em
, ou seja,
, não existe. Estamos trabalhando com o conceito de derivadas, especificamente verificando a existência da derivada em um ponto. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como calcular limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função em um ponto. A derivada
representa a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto
. Para que a derivada exista em
, os limites laterais da taxa de variação da função devem ser iguais. Ou seja:
Se esses dois limites forem diferentes, a derivada não existe em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda de
. Para
, a função é
. Então:
Portanto, o limite pela esquerda é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita de
. Para
, a função é
. Então:
Aqui, o denominador
se aproxima de 0 pelo lado positivo, fazendo com que o limite tenda ao infinito:
Passo 5
Comparando os dois limites que encontramos:
- Limite pela esquerda: 1
- Limite pela direita:
Como os limites laterais não são iguais, concluímos que a derivada de
em
não existe.
Resposta
A derivada
não existe.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule as 4 primeiras derivadas de
.
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
Determinar o ponto de interseç̧ão dos gráficos das funções
. Construir ográfica.
Resolva o sistema: