Dada a função:
Mostre que não existe .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a derivada de em , ou seja, , não existe. Estamos trabalhando com o conceito de derivadas, especificamente verificando a existência da derivada em um ponto. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função em um ponto. A derivada representa a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto . Para que a derivada exista em , os limites laterais da taxa de variação da função devem ser iguais. Ou seja:
Se esses dois limites forem diferentes, a derivada não existe em .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda de . Para , a função é . Então:
Portanto, o limite pela esquerda é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita de . Para , a função é . Então:
Aqui, o denominador se aproxima de 0 pelo lado positivo, fazendo com que o limite tenda ao infinito:

Passo 5

Comparando os dois limites que encontramos:
  • Limite pela esquerda: 1
  • Limite pela direita:
Como os limites laterais não são iguais, concluímos que a derivada de em não existe.

Resposta

A derivada não existe.

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