Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:

Passo 1

Vamos calcular as três primeiras derivadas da função . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao estudo de derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar usar as regras básicas de derivação, como a regra do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que pode ser escrita como . Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . A regra do poder nos diz que, se temos , então a derivada . Aplicando isso:

Passo 4

Simplificando a expressão da primeira derivada para uma forma mais familiar:

Passo 5

Vamos agora calcular a segunda derivada. Começamos com a primeira derivada e aplicamos novamente a regra do poder:

Passo 6

Simplificando a segunda derivada:

Passo 7

Finalmente, calculamos a terceira derivada. Partindo da segunda derivada , aplicamos a regra do poder mais uma vez:

Passo 8

Simplificando a terceira derivada:

Resposta

As três primeiras derivadas da função são:

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Sabendo que e , determine .