Calcule as seguintes integrais: integral cosec^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de cosec^4 x , dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração por partes e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cosec , x é o mesmo que 1sin x. Então, cosec^4 x é 1sin^4 x. Mas para facilitar a integração, usamos a identidade sin^2 x + cos^2 x = 1, que nos ajuda a reescrever a expressão.

Passo 3

Vamos reescrever cosec^4 x usando uma identidade trigonométrica:
cosec^4 x = 1sin^4 x = 1sin^2 x cdot sin^2 x = cosec^2 x cdot cosec^2 x
Sabemos que cosec^2 x = 1 + cot^2 x, então:
cosec^4 x = (1 + cot^2 x)^2

Passo 4

Expandindo (1 + cot^2 x)^2:
(1 + cot^2 x)^2 = 1 + 2cot^2 x + cot^4 x
Agora, nossa integral fica:
integral cosec^4 x , dx = integral (1 + 2cot^2 x + cot^4 x) , dx

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
  1. integral 1 , dx = x + C
  2. Para integrar 2cot^2 x, lembramos que cot^2 x = cosec^2 x - 1, então:
integral 2cot^2 x , dx = 2integral (cosec^2 x - 1) , dx = 2(-cot x) - 2x + C
  1. Para integral cot^4 x , dx, usamos uma substituição similar:
cot^4 x = (cot^2 x)^2 = (cosec^2 x - 1)^2 = cosec^4 x - 2cosec^2 x + 1
Mas isso acabaria nos levando de volta à integral original, então uma abordagem melhor é reconhecer que a integral de cot^4 x pode ser resolvida usando:
integral cot^4 x , dx = integral (cot^2 x)^2 , dx = integral (cosec^2 x - 1)^2 , dx
Expandindo:
integral (cosec^4 x - 2cosec^2 x + 1) , dx
Isso ainda é complexo, então para simplificar, usamos a fórmula de integração para cot^n x.

Passo 6

Usando a fórmula de redução para integrar potências de cotangente:
integral cot^4 x , dx = cot^3 x3 - cot x + x + C
Agora, somando todos os termos integrados:
integral cosec^4 x , dx = x - 2cot x - 2x + cot^3 x3 - cot x + x + C

Resposta

Simplificando os termos:
integral cosec^4 x , dx = -3cot x + cot^3 x3 + C
Onde C é a constante de integração.

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