Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração por partes e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o mesmo que . Então, é . Mas para facilitar a integração, usamos a identidade , que nos ajuda a reescrever a expressão.

Passo 3

Vamos reescrever usando uma identidade trigonométrica:
Sabemos que , então:

Passo 4

Expandindo :
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
  1. Para integrar , lembramos que , então:
  1. Para , usamos uma substituição similar:
Mas isso acabaria nos levando de volta à integral original, então uma abordagem melhor é reconhecer que a integral de pode ser resolvida usando:
Expandindo:
Isso ainda é complexo, então para simplificar, usamos a fórmula de integração para .

Passo 6

Usando a fórmula de redução para integrar potências de cotangente:
Agora, somando todos os termos integrados:

Resposta

Simplificando os termos:
Onde é a constante de integração.

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Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
Calcule as seguintes integrais:
Sabendo que e , determine .
Calcule as seguintes integrais: