Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração por partes e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o mesmo que
. Então,
é
. Mas para facilitar a integração, usamos a identidade
, que nos ajuda a reescrever a expressão.
Passo 3
Vamos reescrever
usando uma identidade trigonométrica:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Expandindo
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
-
- Para integrar
, lembramos que , então:
- Para
, usamos uma substituição similar:
Mas isso acabaria nos levando de volta à integral original, então uma abordagem melhor é reconhecer que a integral de
pode ser resolvida usando:
Expandindo:
Isso ainda é complexo, então para simplificar, usamos a fórmula de integração para
.
Passo 6
Usando a fórmula de redução para integrar potências de cotangente:
Agora, somando todos os termos integrados:
Resposta
Simplificando os termos:
Onde
é a constante de integração.