Sabendo que x=p cos theta e y=p sen theta, determine |llpartial xpartial p & partial xpartial theta partial ypartial x & partial ypartial theta|.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos as equações e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de e em relação a e e, em seguida, montar uma matriz com essas derivadas para calcular o seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de partial xpartial p = cos theta em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Isso porque ao derivar em relação a , a é tratada como constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial xpartial theta = -p sin theta em relação a .
A derivada parcial de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então multiplicamos pelo .

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para partial ypartial p = sin theta . Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Novamente, é tratada como constante ao derivar em relação a .

Passo 5

Agora, a derivada parcial de partial ypartial theta = p cos theta em relação a :
Usamos a regra da cadeia aqui também. A derivada de em relação a é , multiplicando pelo .

Passo 6

Com todas as derivadas calculadas, montamos a matriz das derivadas parciais:

[
partial xpartial p & partial xpartial theta partial ypartial p & partial ypartial theta = cos theta & -p sin theta sin theta & p cos theta


]

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz Determinante = (a cdot d) - (b cdot c) é dado por:
Determinante = (cos theta cdot p cos theta) - (-p sin theta cdot sin theta)
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Determinante = p cos^2 theta + p sin^2 theta

Passo 9

Agora, fatoramos o Determinante = p (cos^2 theta + sin^2 theta) :
Determinante = p cdot 1 = p
Sabemos que , então:

Resposta

O determinante da matriz é .

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