Sabendo que e , determine .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos as equações e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de e em relação a e e, em seguida, montar uma matriz com essas derivadas para calcular o seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Isso porque ao derivar em relação a , a é tratada como constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a .
A derivada parcial de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então multiplicamos pelo .

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para . Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Novamente, é tratada como constante ao derivar em relação a .

Passo 5

Agora, a derivada parcial de em relação a :
Usamos a regra da cadeia aqui também. A derivada de em relação a é , multiplicando pelo .

Passo 6

Com todas as derivadas calculadas, montamos a matriz das derivadas parciais:

[


]

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:

Passo 9

Agora, fatoramos o :
Sabemos que , então:

Resposta

O determinante da matriz é .

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