Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de
. Esse exercício envolve cálculo de integrais que lidam com funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica que converte potências de seno e cosseno em termos múltiplos do ângulo, facilitando a integração. Lembrando que:
Vamos aplicar essas identidades nas funções
e
.
Para
:
Para
, primeiro observamos que
, então:
Agora, substituímos essas expressões na integral original:
Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Multiplicando os termos dentro dos parênteses:
Simplificando os termos:
Agora, vamos separar a integral em partes mais simples:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
- Integral de 1:
- Integral de
:
- Integral de
:
Para integrar
, usamos a identidade:
Aplicando:
- Integral de
:
Para integrar
, usamos a identidade:
Então:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Voltando para
:
Agora, juntando todas as integrais:
Simplificando:
Distribuindo o
:
Resposta
A integral de
é igual a:
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