Calcule as seguintes integrais: integral sen^2 2 t cos ^4 2 t d t

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de sin^2(2t) cos^4(2t) , dt. Esse exercício envolve cálculo de integrais que lidam com funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica que converte potências de seno e cosseno em termos múltiplos do ângulo, facilitando a integração. Lembrando que:
sin^2x = 1 - cos(2x)2 e cos^2x = 1 + cos(2x)2
Vamos aplicar essas identidades nas funções sin^2(2t) e cos^4(2t).
Para sin^2(2t):
sin^2(2t) = 1 - cos(4t)2
Para cos^4(2t), primeiro observamos que cos^4x = (cos^2x)^2, então:
cos^4(2t) = (1 + cos(4t)2)^2 = 1 + 2cos(4t) + cos^2(4t)4
Agora, substituímos essas expressões na integral original:
integral sin^2(2t) cos^4(2t) , dt = integral (1 - cos(4t)2) (1 + 2cos(4t) + cos^2(4t)4) dt
Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
= 18 integral (1 - cos(4t))(1 + 2cos(4t) + cos^2(4t)) , dt
Multiplicando os termos dentro dos parênteses:
= 18 integral [1 cdot 1 + 1 cdot 2cos(4t) + 1 cdot cos^2(4t) - cos(4t) cdot 1 - cos(4t) cdot 2cos(4t) - cos(4t) cdot cos^2(4t)] dt
Simplificando os termos:
= 18 integral [1 + 2cos(4t) + cos^2(4t) - cos(4t) - 2cos^2(4t) - cos^3(4t)] dt
= 18 integral [1 + cos(4t) - cos^2(4t) - cos^3(4t)] dt
Agora, vamos separar a integral em partes mais simples:
= 18 ( integral 1 , dt + integral cos(4t) , dt - integral cos^2(4t) , dt - integral cos^3(4t) , dt )
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de 1:
integral 1 , dt = t
  1. Integral de cos(4t):
integral cos(4t) , dt = sin(4t)4
  1. Integral de cos^2(4t):
Para integrar cos^2(4t), usamos a identidade:
cos^2x = 1 + cos(2x)2
Aplicando:
integral cos^2(4t) , dt = integral 1 + cos(8t)2 , dt = 12 integral 1 , dt + 12 integral cos(8t) , dt = t2 + sin(8t)16
  1. Integral de cos^3(4t):
Para integrar cos^3(4t), usamos a identidade:
cos^3x = cos x (1 - sin^2x)
Então:
integral cos^3(4t) , dt = integral cos(4t) (1 - sin^2(4t)) , dt
Fazendo a substituição u = sin(4t), então du = 4cos(4t) , dt, ou seja, cos(4t) , dt = du4.
Substituindo:
= integral (1 - u^2) du4 = 14 integral (1 - u^2) , du = 14 ( u - u^33 ) + C
Voltando para t:
= 14 ( sin(4t) - sin^3(4t)3 ) + C
Agora, juntando todas as integrais:
= 18 ( t + sin(4t)4 - ( t2 + sin(8t)16 ) - ( 14 sin(4t) - 112 sin^3(4t) ) ) + C
Simplificando:
= 18 ( t + sin(4t)4 - t2 - sin(8t)16 - 14 sin(4t) + 112 sin^3(4t) ) + C
= 18 ( t2 - sin(8t)16 + 112 sin^3(4t) ) + C
Distribuindo o 18:
= t16 - sin(8t)128 + sin^3(4t)96 + C

Resposta

A integral de sin^2(2t) cos^4(2t) , dt é igual a:
t16 - sin(8t)128 + sin^3(4t)96 + C

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