Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de . Esse exercício envolve cálculo de integrais que lidam com funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica que converte potências de seno e cosseno em termos múltiplos do ângulo, facilitando a integração. Lembrando que:
Vamos aplicar essas identidades nas funções e .
Para :
Para , primeiro observamos que , então:
Agora, substituímos essas expressões na integral original:
Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Multiplicando os termos dentro dos parênteses:
Simplificando os termos:
Agora, vamos separar a integral em partes mais simples:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de 1:
  1. Integral de :
  1. Integral de :
Para integrar , usamos a identidade:
Aplicando:
  1. Integral de :
Para integrar , usamos a identidade:
Então:
Fazendo a substituição , então , ou seja, .
Substituindo:
Voltando para :
Agora, juntando todas as integrais:
Simplificando:
Distribuindo o :

Resposta

A integral de é igual a:

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