Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos calcular as três primeiras derivadas dela. Vamos usar os conceitos de derivadas, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. A regra do produto é usada quando temos duas funções multiplicando uma à outra, e a regra da cadeia é útil para derivar funções compostas, como .

Passo 2

Primeira derivada ( ):
Usando a regra do produto, onde se , então .
Aqui, e .
Derivando cada parte:
  • Para , aplicamos a regra da cadeia: a derivada de é . Então, .
Aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar :

Passo 3

Segunda derivada ( ):
Vamos derivar usando novamente a regra do produto.
Aqui, e .
Derivando cada parte:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Fatorando :

Passo 4

Terceira derivada ( ):
Agora, derivamos usando a regra do produto mais uma vez.
Aqui, e .
Derivando cada parte:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Fatorando :

Resposta

As três primeiras derivadas da função são:

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Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
(constante)
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Mostre que a função é solução da equação .