Mostre que a função y = x^2 é solução da equação x^2 y'' - 2 y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função é solução da equação diferencial . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a verificação de soluções de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada de e substituir na equação para verificar se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função dada é .
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que é a derivada de .

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, vamos substituir e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para ver se a igualdade se mantém:

Resposta

Como a igualdade é verdadeira, mostramos que a função satisfaz a equação diferencial , ou seja, é realmente uma solução dessa equação.

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