Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.

Passo 1

Vamos analisar a função . O objetivo é determinar para ela:
a. Pontos críticos;
b. Pontos de máximos e mínimos;
c. A concavidade;
d. Esboçar o gráfico.
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudarão a encontrar taxas de variação da função, identificar pontos importantes e entender o comportamento do gráfico.

Passo 2

Primeiro, encontramos a primeira derivada da função , que nos ajudará a identificar os pontos críticos. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A função é . Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que se e são funções, então:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Então,

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver . Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não está definida, mas como nunca é zero, focamos em:
Como para todo , a única solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora, determinamos se esse ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, usamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada ao redor do ponto crítico.
Vamos usar a segunda derivada. Primeiro, achamos .
Já sabemos que:
Derivando novamente:
Em :
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que é um ponto de mínimo.

Passo 5

Para analisar a concavidade, observamos a segunda derivada .
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Resolvendo :
Então:
  • Para , e ⇒ concavidade para cima.
  • Para , e ⇒ concavidade para baixo.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico com as informações obtidas:
  • Ponto crítico: , ponto de mínimo.
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo quando .
    • Côncava para cima quando .
  • Comportamento geral:
    • Como tende a quando e tende a quando , o gráfico passará por esses comportamentos extremos.

Resposta

A função possui um ponto crítico em , que é um ponto de mínimo. A concavidade é para baixo quando e para cima quando . O gráfico apresenta um mínimo em e segue as concavidades determinadas para desenhar sua forma geral.

Exercícios relacionados

Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
Mostre que a função é solução da equação .
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.