Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Passo 1
Vamos analisar a função
. O objetivo é determinar para ela:
a. Pontos críticos;
b. Pontos de máximos e mínimos;
c. A concavidade;
d. Esboçar o gráfico.
a. Pontos críticos;
b. Pontos de máximos e mínimos;
c. A concavidade;
d. Esboçar o gráfico.
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudarão a encontrar taxas de variação da função, identificar pontos importantes e entender o comportamento do gráfico.
Passo 2
Primeiro, encontramos a primeira derivada da função
, que nos ajudará a identificar os pontos críticos. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A função é
. Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que se
e
são funções, então:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Então,
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver
. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não está definida, mas como
nunca é zero, focamos em:
Como
para todo
, a única solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Agora, determinamos se esse ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, usamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada ao redor do ponto crítico.
Vamos usar a segunda derivada. Primeiro, achamos
.
Já sabemos que:
Derivando novamente:
Em
:
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que
é um ponto de mínimo.
Passo 5
Para analisar a concavidade, observamos a segunda derivada
.
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Resolvendo
:
Então:
- Para
, e ⇒ concavidade para cima. - Para
, e ⇒ concavidade para baixo.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico com as informações obtidas:
- Ponto crítico:
, ponto de mínimo. - Concavidade:
- Côncava para baixo quando
. - Côncava para cima quando
.
- Côncava para baixo quando
- Comportamento geral:
- Como
tende a quando e tende a quando , o gráfico passará por esses comportamentos extremos.
- Como
Resposta
A função
possui um ponto crítico em
, que é um ponto de mínimo. A concavidade é para baixo quando
e para cima quando
. O gráfico apresenta um mínimo em
e segue as concavidades determinadas para desenhar sua forma geral.
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Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
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Mostre que a função
é solução da equação
.
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.