Calcular , sabendo que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma dos produtos internos de três vetores: . Sabemos que a soma desses vetores dá o vetor nulo ( ) e que os comprimentos dos vetores são , e . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e produto interno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno (ou produto escalar) de dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre eles. Esse produto tem propriedades que vão nos ajudar a simplificar a expressão.

Passo 3

Sabemos que . Vamos elevar ambos os lados ao produto interno:
Como o vetor nulo tem produto interno zero, temos:

Passo 4

Expandindo o lado esquerdo:
Esse passo usa a propriedade de que o quadrado do módulo da soma de vetores é igual à soma dos quadrados dos módulos mais duas vezes a soma dos produtos internos.

Passo 5

Vamos isolar a soma dos produtos internos:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, substituímos os valores dos módulos dos vetores:

Resposta

A soma é igual a .

Exercícios relacionados

Sejam os vetores e . Verifique que define um produto interno no .
Suponha que tem o produto interno:
.
Use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar .
Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
a) dada por ;
b) dada por ;
c) dada por ;
d) dada por .
Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.