Calcular u cdot v+u cdot w+v cdot w, sabendo que u+v+w=0,|u|=2,|v|=3 e |w|=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma dos produtos internos de três vetores: . Sabemos que a soma desses vetores dá o vetor nulo ( ) e que os comprimentos dos vetores são , e . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e produto interno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno (ou produto escalar) de dois vetores a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta) e é dado por:
onde é o ângulo entre eles. Esse produto tem propriedades que vão nos ajudar a simplificar a expressão.

Passo 3

Sabemos que (u + v + w) cdot (u + v + w) = 0 cdot 0 . Vamos elevar ambos os lados ao produto interno:
|u + v + w|^2 = 0
Como o vetor nulo tem produto interno zero, temos:

Passo 4

Expandindo o lado esquerdo:
|u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0
Esse passo usa a propriedade de que o quadrado do módulo da soma de vetores é igual à soma dos quadrados dos módulos mais duas vezes a soma dos produtos internos.

Passo 5

Vamos isolar a soma dos produtos internos:
2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = -(|u|^2 + |v|^2 + |w|^2)
Dividindo ambos os lados por 2:
u cdot v + u cdot w + v cdot w = -|u|^2 + |v|^2 + |w|^22

Passo 6

Agora, substituímos os valores dos módulos dos vetores:
u cdot v + u cdot w + v cdot w = -2^2 + 3^2 + 5^22 = -4 + 9 + 252 = -382 = -19

Resposta

A soma é igual a .

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