Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma dos produtos internos de três vetores: . Sabemos que a soma desses vetores dá o vetor nulo () e que os comprimentos dos vetores são , e . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e produto interno para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto interno (ou produto escalar) de dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre eles. Esse produto tem propriedades que vão nos ajudar a simplificar a expressão.
Passo 3
Sabemos que . Vamos elevar ambos os lados ao produto interno:
Como o vetor nulo tem produto interno zero, temos:
Passo 4
Expandindo o lado esquerdo:
Esse passo usa a propriedade de que o quadrado do módulo da soma de vetores é igual à soma dos quadrados dos módulos mais duas vezes a soma dos produtos internos.
Passo 5
Vamos isolar a soma dos produtos internos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 6
Agora, substituímos os valores dos módulos dos vetores: