Suponha que R^3 tem o produto interno:
u v=(x1, x2, x3) cdot(y1, y2, y3)=x1 y1+2 x2 y2+3 x3 y3.
Use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar v1=(1,1,1), v2=(1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um produto interno especial em R^3 e pede para usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores v1 = (1,1,1) e v2 = (1,1,0). Basicamente, vamos transformar esses vetores em um conjunto de vetores que são perpendiculares entre si de acordo com o produto interno definido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o processo de Gram-Schmidt. Esse método serve para pegar um conjunto de vetores e transformá-los em um conjunto de vetores ortogonais (ou seja, perpendiculares) em relação a um determinado produto interno. No nosso caso, o produto interno é específico:
u cdot v = x1 y1 + 2 x2 y2 + 3 x3 y3

Passo 3

Começamos com o primeiro vetor v1 = (1,1,1). Como não há vetores anteriores, simplesmente definimos o primeiro vetor ortogonal u1 igual a v1:
u1 = v1 = (1,1,1)

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor v2 = (1,1,0). Para isso, subtraímos da v2 a projeção dela sobre u1. A fórmula da projeção é:
proju1 v2 = v2 cdot u1u1 cdot u1 u1

Passo 5

Vamos calcular o produto interno v2 cdot u1 usando o produto interno fornecido:
v2 cdot u1 = 1 times 1 + 2 times 1 times 1 + 3 times 0 times 1 = 1 + 2 + 0 = 3
E o produto interno u1 cdot u1:
u1 cdot u1 = 1 times 1 + 2 times 1 times 1 + 3 times 1 times 1 = 1 + 2 + 3 = 6

Passo 6

Com esses valores, a projeção fica:
proju1 v2 = 36 times (1,1,1) = 12 times (1,1,1) = (12, 12, 12)

Passo 7

Agora, subtraímos essa projeção de v2 para obter o segundo vetor ortogonal u2:
u2 = v2 - proju1 v2 = (1,1,0) - (12, 12, 12) = (12, 12, -12)

Resposta

Os vetores ortogonais obtidos pelo processo de Gram-Schmidt são:
u1 = (1,1,1)
u2 = (12, 12, -12)

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