Suponha que tem o produto interno: .
Use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um produto interno especial em R^3 e pede para usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores v1 = (1,1,1) e v2 = (1,1,0). Basicamente, vamos transformar esses vetores em um conjunto de vetores que são perpendiculares entre si de acordo com o produto interno definido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o processo de Gram-Schmidt. Esse método serve para pegar um conjunto de vetores e transformá-los em um conjunto de vetores ortogonais (ou seja, perpendiculares) em relação a um determinado produto interno. No nosso caso, o produto interno é específico:
u cdot v = x1 y1 + 2 x2 y2 + 3 x3 y3
Passo 3
Começamos com o primeiro vetor v1 = (1,1,1). Como não há vetores anteriores, simplesmente definimos o primeiro vetor ortogonal u1 igual a v1:
u1 = v1 = (1,1,1)
Passo 4
Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor v2 = (1,1,0). Para isso, subtraímos da v2 a projeção dela sobre u1. A fórmula da projeção é:
proju1 v2 = v2 cdot u1u1 cdot u1 u1
Passo 5
Vamos calcular o produto interno v2 cdot u1 usando o produto interno fornecido:
v2 cdot u1 = 1 times 1 + 2 times 1 times 1 + 3 times 0 times 1 = 1 + 2 + 0 = 3
E o produto interno u1 cdot u1:
u1 cdot u1 = 1 times 1 + 2 times 1 times 1 + 3 times 1 times 1 = 1 + 2 + 3 = 6
Passo 6
Com esses valores, a projeção fica:
proju1 v2 = 36 times (1,1,1) = 12 times (1,1,1) = (12, 12, 12)
Passo 7
Agora, subtraímos essa projeção de v2 para obter o segundo vetor ortogonal u2: