Suponha que tem o produto interno: .
Use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um produto interno especial em e pede para usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e . Basicamente, vamos transformar esses vetores em um conjunto de vetores que são perpendiculares entre si de acordo com o produto interno definido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o processo de Gram-Schmidt. Esse método serve para pegar um conjunto de vetores e transformá-los em um conjunto de vetores ortogonais (ou seja, perpendiculares) em relação a um determinado produto interno. No nosso caso, o produto interno é específico:
Passo 3
Começamos com o primeiro vetor . Como não há vetores anteriores, simplesmente definimos o primeiro vetor ortogonal igual a :
Passo 4
Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor . Para isso, subtraímos da a projeção dela sobre . A fórmula da projeção é:
Passo 5
Vamos calcular o produto interno usando o produto interno fornecido:
E o produto interno :
Passo 6
Com esses valores, a projeção fica:
Passo 7
Agora, subtraímos essa projeção de para obter o segundo vetor ortogonal :
Resposta
Os vetores ortogonais obtidos pelo processo de Gram-Schmidt são: