Suponha que tem o produto interno:
.
Use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um produto interno especial em e pede para usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e . Basicamente, vamos transformar esses vetores em um conjunto de vetores que são perpendiculares entre si de acordo com o produto interno definido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o processo de Gram-Schmidt. Esse método serve para pegar um conjunto de vetores e transformá-los em um conjunto de vetores ortogonais (ou seja, perpendiculares) em relação a um determinado produto interno. No nosso caso, o produto interno é específico:

Passo 3

Começamos com o primeiro vetor . Como não há vetores anteriores, simplesmente definimos o primeiro vetor ortogonal igual a :

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor . Para isso, subtraímos da a projeção dela sobre . A fórmula da projeção é:

Passo 5

Vamos calcular o produto interno usando o produto interno fornecido:
E o produto interno :

Passo 6

Com esses valores, a projeção fica:

Passo 7

Agora, subtraímos essa projeção de para obter o segundo vetor ortogonal :

Resposta

Os vetores ortogonais obtidos pelo processo de Gram-Schmidt são:

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