Sejam os vetores e . Verifique que define um produto interno no .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem dois vetores, e . O objetivo aqui é verificar se o produto realmente define um produto interno no espaço . Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Basicamente, é uma forma de multiplicar dois vetores que satisfaz algumas propriedades importantes, como:
  1. Positividade: O produto interno de um vetor consigo mesmo é sempre positivo, a menos que o vetor seja o vetor nulo.
  2. Linearidade: O produto interno é linear em relação a cada um dos vetores.
  3. Simetria: O produto interno é o mesmo se a gente trocar a ordem dos vetores.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o nosso caso específico.

Passo 3

1. Positividade:
Queremos mostrar que é sempre maior ou igual a zero e que é zero apenas quando é o vetor nulo.
  • Como e são sempre positivos ou zero, e multiplicados por números positivos (2 e 5), então .
  • A soma será zero somente se e , ou seja, se for o vetor nulo.
2. Linearidade:
Precisamos verificar se o produto interno é linear em cada vetor. Vamos checar na primeira componente:
  • Se tivermos dois vetores e e um escalar , então:
    Isso é igual a , mostrando que a linearidade é mantida.
3. Simetria:
Vamos ver se :
Como a multiplicação é comutativa ( e ), os dois resultados são iguais. Então, a simetria está satisfeita.

Resposta

Concluímos que o produto satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno no espaço .

Exercícios relacionados

Suponha que tem o produto interno:
.
Use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar .
Dado o operador linear definido por . Encontre , onde é a Base Canônica de e .
Calcular , sabendo que e .
Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
a) dada por ;
b) dada por ;
c) dada por ;
d) dada por .