Sejam os vetores u=(x1, y1) e v=(x2, y2). Verifique que u cdot v=2 x1 x2+5 y1 y2 define um produto interno no R^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem dois vetores, u = (x1, y1) e v = (x2, y2). O objetivo aqui é verificar se o produto u cdot v = 2 x1 x2 + 5 y1 y2 realmente define um produto interno no espaço R^2. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Basicamente, é uma forma de multiplicar dois vetores que satisfaz algumas propriedades importantes, como:
  1. Positividade: O produto interno de um vetor consigo mesmo é sempre positivo, a menos que o vetor seja o vetor nulo.
  2. Linearidade: O produto interno é linear em relação a cada um dos vetores.
  3. Simetria: O produto interno é o mesmo se a gente trocar a ordem dos vetores.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o nosso caso específico.

Passo 3

1. Positividade:
Queremos mostrar que u cdot u = 2 x1^2 + 5 y1^2 é sempre maior ou igual a zero e que é zero apenas quando u é o vetor nulo.
  • Como x1^2 e y1^2 são sempre positivos ou zero, e multiplicados por números positivos (2 e 5), então 2 x1^2 + 5 y1^2 >= 0.
  • A soma será zero somente se x1 = 0 e y1 = 0, ou seja, se u for o vetor nulo.
2. Linearidade:
Precisamos verificar se o produto interno é linear em cada vetor. Vamos checar na primeira componente:
  • Se tivermos dois vetores u e w e um escalar a, então:
    u cdot (av + w) = 2x1(a x2 + w2) + 5y1(a y2 + w2)
    Isso é igual a a(2x1x2 + 5y1y2) + (2x1w2 + 5y1w2), mostrando que a linearidade é mantida.
3. Simetria:
Vamos ver se u cdot v = v cdot u:
  • u cdot v = 2 x1 x2 + 5 y1 y2
  • v cdot u = 2 x2 x1 + 5 y2 y1
Como a multiplicação é comutativa ( x1x2 = x2x1 e y1y2 = y2y1), os dois resultados são iguais. Então, a simetria está satisfeita.

Resposta

Concluímos que o produto u cdot v = 2 x1 x2 + 5 y1 y2 satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno no espaço R^2.

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