Calcular: Usando coordenadas cilindricas, calcular o volume da região limitada pelos planos z = 0 e z = x + y + 5 e pelos cilindros de equação x^2 + y^2 = 4 e x^2 + y^2 = 9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de uma região limitada pelos planos e , além dos cilindros e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para trabalhar com cilindros e simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano .
  • é o ângulo que o raio forma com o eixo .
  • é a mesma altura do sistema cartesiano.
As equações dos cilindros passam a ser:
  • , então temos e .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação do plano em coordenadas cilíndricas. Substituindo e , temos:
Esse será o limite superior para , enquanto é o limite inferior.

Passo 4

Para encontrar o volume, vamos montar uma integração tripla em coordenadas cilíndricas. A fórmula geral para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, extraímos para a medida do volume.

Passo 5

Vamos resolver a integral começando por :
Então, o volume fica:
Simplificando o integrando:

Passo 6

Vamos agora integrar em relação a :
E para o termo :
Portanto, o volume fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Somando tudo, temos que o volume total é:

Resposta

O volume da região é .

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