Calcular: Usando coordenadas cilindricas, calcular o volume da região limitada pelos planos
e
e pelos cilindros de equação
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de uma região limitada pelos planos
e
, além dos cilindros
e
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para trabalhar com cilindros e simetrias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano . -
é o ângulo que o raio forma com o eixo . -
é a mesma altura do sistema cartesiano.
As equações dos cilindros passam a ser:
-
, então temos e .
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação do plano
em coordenadas cilíndricas. Substituindo
e
, temos:
Esse será o limite superior para
, enquanto
é o limite inferior.
Passo 4
Para encontrar o volume, vamos montar uma integração tripla em coordenadas cilíndricas. A fórmula geral para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui,
extraímos para a medida do volume.
Passo 5
Vamos resolver a integral começando por
:
Então, o volume fica:
Simplificando o integrando:
Passo 6
Vamos agora integrar em relação a
:
E para o termo
:
Portanto, o volume fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Somando tudo, temos que o volume total é:
Resposta
O volume da região é
.