Transforme a equação para coordenadas esféricas: x^2 + y^2 = 4 z

Passo 1

Beleza! A gente tem que transformar a equação de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas. Isso faz parte do estudo de sistemas de coordenadas na matemática, que ajuda a resolver problemas em diferentes contextos. Vamos precisar lembrar como passar de cartesianas para esféricas usando as fórmulas de conversão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que conectam as coordenadas cartesianas (x, y, z) com as esféricas . Elas são:
Essas fórmulas nos permitem substituir x, y e z na equação original.

Passo 3

Agora, vamos substituir x e y na equação usando as fórmulas que vimos:
Simplificando os termos ao quadrado:

Passo 4

Perceba que , então podemos fatorar :
Agora, dividimos os dois lados por r (supondo que ):

Passo 5

Para simplificar, vamos isolar r:
Podemos também reescrever usando identidades trigonométricas, mas essa forma já está adequada para coordenadas esféricas.

Resposta

A equação em coordenadas esféricas fica:

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