Descreva o gráfico da equação em três dimensões:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever o gráfico da equação
em três dimensões. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas esféricas, que nos ajudam a representar pontos no espaço usando três parâmetros:
(distância do ponto à origem),
(ângulo polar, ou seja, o ângulo entre o vetor e o eixo z) e
(ângulo azimutal, o ângulo no plano xy a partir do eixo x). Vamos precisar entender como essas coordenadas funcionam para desenhar o gráfico corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a equação
em coordenadas esféricas. Aqui,
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo z. A equação relaciona esses dois parâmetros, independente de
, o que sugere que o gráfico terá simetria ao redor do eixo z.
Passo 3
Vamos manipular a equação para entender melhor o que ela representa. Sabemos que em coordenadas esféricas, a relação entre
,
e as coordenadas cartesianas
é dada por:
Substituindo
da nossa equação:
Podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar:
Então:
Passo 4
Agora, vamos pensar no que essa equação representa. Como
varia entre -1 e 1,
varia entre -3 e 3. Além disso, para cada valor de
,
se ajusta para manter a relação
. Isso sugere que o gráfico forma uma estrutura fechada simétrica, especificamente uma esfera.
Passo 5
Na verdade, a equação
em coordenadas esféricas é conhecida por representar uma esfera de raio
centrada no ponto
. Comparando com a nossa equação
, vemos que
, então
. Portanto, nossa equação representa uma esfera de raio 3, centrada no ponto
no espaço tridimensional.
Resposta
O gráfico da equação
em três dimensões é uma esfera de raio 3 unidades, centrada no ponto
.
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Descreva o gráfico da equação em três dimensões:
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Calcular: Usando coordenadas cilindricas, calcular o volume da região limitada pelos planos
e
e pelos cilindros de equação
e
.
Transforme a equação para coordenadas esféricas: