Descreva o gráfico da equação em três dimensões:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever o gráfico da equação em três dimensões. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas esféricas, que nos ajudam a representar pontos no espaço usando três parâmetros: (distância do ponto à origem), (ângulo polar, ou seja, o ângulo entre o vetor e o eixo z) e (ângulo azimutal, o ângulo no plano xy a partir do eixo x). Vamos precisar entender como essas coordenadas funcionam para desenhar o gráfico corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a equação em coordenadas esféricas. Aqui, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo z. A equação relaciona esses dois parâmetros, independente de , o que sugere que o gráfico terá simetria ao redor do eixo z.

Passo 3

Vamos manipular a equação para entender melhor o que ela representa. Sabemos que em coordenadas esféricas, a relação entre , e as coordenadas cartesianas é dada por:
Substituindo da nossa equação:
Podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar:
Então:

Passo 4

Agora, vamos pensar no que essa equação representa. Como varia entre -1 e 1, varia entre -3 e 3. Além disso, para cada valor de , se ajusta para manter a relação . Isso sugere que o gráfico forma uma estrutura fechada simétrica, especificamente uma esfera.

Passo 5

Na verdade, a equação em coordenadas esféricas é conhecida por representar uma esfera de raio centrada no ponto . Comparando com a nossa equação , vemos que , então . Portanto, nossa equação representa uma esfera de raio 3, centrada no ponto no espaço tridimensional.

Resposta

O gráfico da equação em três dimensões é uma esfera de raio 3 unidades, centrada no ponto .

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Calcular: Usando coordenadas cilindricas, calcular o volume da região limitada pelos planos e e pelos cilindros de equação e .
Transforme a equação para coordenadas esféricas: