Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função trigonométrica hiperbólica
. Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de funções hiperbólicas. Para isso, vamos precisar entender a definição da derivada e as propriedades das funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é a tangente hiperbólica, que pode ser escrita como:
onde
é a função seno hiperbólico e
é o cosseno hiperbólico.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra do quociente, que nos ajuda a derivar uma fração de duas funções. A regra do quociente diz que:
onde
e
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
. Sabemos que:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Simplificando o numerador:
E sabemos que:
Isso é uma identidade fundamental das funções hiperbólicas.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada:
E como
, podemos escrever:
Resposta
A derivada da função
é
.
Exercícios relacionados
Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones:
Mostre que as propriedades familiares para o logaritmo real continua valendo para o logaritmo complexo, ou seja:
Calcular usando el cambio de variable indicado:
Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas: