Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas: (tgh(z))'

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função trigonométrica hiperbólica . Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de funções hiperbólicas. Para isso, vamos precisar entender a definição da derivada e as propriedades das funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é a tangente hiperbólica, que pode ser escrita como:
onde é a função seno hiperbólico e é o cosseno hiperbólico.

Passo 3

Para encontrar a derivada de , vamos usar a regra do quociente, que nos ajuda a derivar uma fração de duas funções. A regra do quociente diz que:
onde e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas de u e v. Sabemos que:

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Simplificando o numerador:
E sabemos que:
Isso é uma identidade fundamental das funções hiperbólicas.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:
E como , podemos escrever:

Resposta

A derivada da função é .

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