Calcular usando el método de sustitución: integral0^1(1+x^5) cdot x^4 d x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida usando o método de substituição. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integração por substituição. Vamos precisar entender como escolher uma função para substituir e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral: . Dá pra ver que temos um produto de com . Para usar a substituição, a gente procura uma parte da integral que, quando derivada, aparece em outra parte da integral.

Passo 3

Vamos escolher a substituição dudx = 5x^4 Rightarrow du = 5x^4 , dx . Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar . Então, derivando, temos:
Isso nos ajuda a substituir parte da integral.

Passo 4

Observando a nossa escolha de x^4 , dx = du5 , a expressão aparece na integral original. Podemos resolver para em termos de :
Agora, substituímos na integral original.

Passo 5

Substituindo integral0^1 u cdot du5 = 15 integral u , du e na integral, temos:
Isso simplifica bastante a integral, deixando-a mais fácil de resolver.

Passo 6

Agora, vamos integrar 15 cdot u^22 = u^210 . A integral de em relação a é , então:
Agora, precisamos substituir de volta para .

Passo 7

Lembrando que (1 + x^5)^210 , substituímos de volta:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.

Passo 8

Calculando nos limites:
(1 + x^5)^210 |0^1 = (1 + 1)^210 - (1 + 0)^210 = 410 - 110 = 310

Resposta

O valor da integral é .

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