Hallar una primitiva de cada una de las siguientes funciones: f(x) = raiz(2 x) + raiz(x / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da integração de funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras básicas de integração e simplificar as expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral da função em duas partes separadas. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada uma das integrais separadamente. Observamos que pode ser reescrito como e como . Então, substituindo temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar . Sabemos que:
Onde é a constante de integração. Aplicando isso nas duas integrais que simplificamos:

Passo 5

Por fim, vamos somar as duas expressões integradas:
Podemos simplificar ainda mais a expressão se quisermos:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A primitiva da função é:
Onde é a constante de integração.

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