Calcular utilizando el método de sustitución (cambio de variable): integral -1(x+1) cdot(x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de usando o método de substituição. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrando funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração no integrando. Observe que integral -1(x+1)^3 , dx é igual a . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de substituição. Vamos escolher uma variável que simplifique a integral. Aqui, uma boa escolha é deixar . Isso porque a expressão no denominador é , e ao substituir, a integral fica mais fácil de resolver.

Passo 4

Calculando a derivada de dudx = 1 Rightarrow du = dx em relação a integral -1u^3 , du :
Isso significa que . Vamos substituir por e por na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1) em relação a integral -1u^3 , du = -integral u^-3 , du = -( u^-2-2 ) + C = u^-22 + C = 12u^2 + C . Sabemos que:
Aqui, . Então:

Passo 6

Agora, substituímos 12u^2 + C = 12(x + 1)^2 + C de volta por :

Resposta

A integral de 12(x + 1)^2 + C é:

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