Usando el método de fracciones simples calcular las siguientes integrales: integral 52 x^2-5 x+12 d x

Passo 1

Vamos resumir o problema. Precisamos calcular a integral integral 52x^2 -5x +12 , dx usando o método de frações parciais. Para isso, vamos manipular o denominador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, analisamos o denominador 2x^2 -5x +12. Vamos completar o quadrado para simplificar a expressão.

Passo 3

Completar o quadrado na expressão quadrática:
2x^2 -5x +12 = 2(x^2 - 52x) +12

Passo 4

Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
x^2 - 52x = (x - 54)^2 - 2516

Passo 5

Substituímos de volta na expressão original:
2(x - 54)^2 - 258 +12 = 2(x - 54)^2 + 718

Passo 6

Então, a integral fica:
integral 52(x - 54)^2 + 718 , dx

Passo 7

Fatoramos o 2 do denominador:
integral 52((x - 54)^2 + 7116) , dx = 52 integral 1(x - 54)^2 + 7116 , dx

Passo 8

Reconhecemos a integral padrão:
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua) + C
Aqui, temos u = x - 54 e a = raiz714.

Passo 9

Aplicando a fórmula à nossa integral:
52 cdot 4raiz71 arctan(4(x - 54)raiz71) + C = 10raiz71 arctan(4x -5raiz71) + C

Resposta

A integral é igual a 10raiz71 arctan(4x -5raiz71) + C.

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