Calcular usando el método de sustitución: integral0^pi / 2 sen(x)3+cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida:
Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica básica de cálculo para simplificar integrais. Vamos precisar conhecer as derivadas básicas das funções trigonométricas e como escolher uma boa substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observando o denominador u = 3 + cos(x) , uma boa escolha é definir:
dudx = -sen(x)
Agora, precisamos encontrar a diferencial du = -sen(x) , dx Rightarrow -du = sen(x) , dx . Vamos derivar em relação a :
Então, rearranjando para encontrar :

Passo 3

Substituindo integral sen(x)3 + cos(x) , dx = integral -duu = -integral duu e na integral original, temos:
A integral de -integral duu = -ln|u| + C em relação a é , então:
Mas como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante de integração .

Passo 4

Agora, vamos voltar à variável original substituindo -ln|3 + cos(x)| :
Como estamos calculando uma integral definida de a , vamos avaliar essa expressão nos limites de integração.

Passo 5

Vamos calcular nos limites:
Para -ln(3 + cos(pi/2)) = -ln(3 + 0) = -ln(3) :
-ln(3 + cos(0)) = -ln(3 + 1) = -ln(4)
Para -ln(3) - (-ln(4)) = ln(4) - ln(3) = ln(43) :
Agora, subtraímos o valor em pelo valor em :

Resposta

A integral é igual a .

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