Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales: integral 7 x(x^2-4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 7xx^2-4 dx. Essa integral está pedindo para a gente usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor frações racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos identificar o numerador e o denominador e verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador, o que é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Passo 3

Agora, queremos expressar a fração 7x(x - 2)(x + 2) como a soma de duas frações simples. Vamos supor que:
7x(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2

Passo 4

Para encontrar os valores de A e B, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 2)(x + 2):
7x = A(x + 2) + B(x - 2)

Passo 5

Agora, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
7x = A x + 2A + B x - 2B 7x = (A + B)x + (2A - 2B)

Passo 6

Comparando os coeficientes dos termos correspondentes, temos o seguinte sistema de equações:
A + B = 7 2A - 2B = 0

Passo 7

Resolvendo o sistema, da segunda equação:
2A - 2B = 0 Rightarrow A = B
Substituindo na primeira equação:
A + A = 7 Rightarrow 2A = 7 Rightarrow A = 72 B = 72

Passo 8

Agora que temos A e B, podemos reescrever a fração original:
7xx^2-4 = 72x - 2 + 72x + 2 = 72(1x - 2 + 1x + 2)

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
integral 7xx^2-4 dx = 72 integral 1x - 2 dx + 72 integral 1x + 2 dx

Passo 10

As integrais de 1x - a são conhecidas e resultam em logaritmos naturais:
integral 1x - 2 dx = ln|x - 2| + C integral 1x + 2 dx = ln|x + 2| + C

Passo 11

Substituindo de volta:
72 ln|x - 2| + 72 ln|x + 2| + C = 72 ( ln|x - 2| + ln|x + 2| ) + C

Passo 12

Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
ln|x - 2| + ln|x + 2| = ln|(x - 2)(x + 2)| = ln|x^2 - 4|
Então, a expressão fica:
72 ln|x^2 - 4| + C

Resposta

A integral é igual a 72 ln|x^2 - 4| + C, onde C é a constante de integração.

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