Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa integral está pedindo para a gente usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor frações racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos identificar o numerador e o denominador e verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador, o que é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:
Passo 3
Agora, queremos expressar a fração
como a soma de duas frações simples. Vamos supor que:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 5
Agora, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Passo 10
As integrais de
são conhecidas e resultam em logaritmos naturais:
Passo 11
Substituindo de volta:
Passo 12
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Então, a expressão fica:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcular usando el método de sustitución:
Resolva no caderno estas equações:
b)
b)
Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Hallar a en cada caso para que se cumpla: