Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa integral está pedindo para a gente usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor frações racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos identificar o numerador e o denominador e verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador, o que é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:

Passo 3

Agora, queremos expressar a fração como a soma de duas frações simples. Vamos supor que:

Passo 4

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 5

Agora, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:

Passo 6

Comparando os coeficientes dos termos correspondentes, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora que temos e , podemos reescrever a fração original:

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:

Passo 10

As integrais de são conhecidas e resultam em logaritmos naturais:

Passo 11

Substituindo de volta:

Passo 12

Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Então, a expressão fica:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Calcular usando el método de sustitución:
Resolva no caderno estas equações:
b)
Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Hallar a en cada caso para que se cumpla: