Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales: integral x^3+3 x+2x^2 cdot(x-1)^3 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^3+3 x+2x^2 cdot(x-1)^3 , d x usando o método de frações parciais. Isso significa que vamos decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos entender como quebrar a expressão racional em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, observamos o denominador da fração: x^2 cdot (x-1)^3. Para decompor em frações parciais, devemos considerar todas as combinações possíveis de fatores do denominador. Como temos x^2 e (x-1)^3, a decomposição será:
Ax + Bx^2 + Cx-1 + D(x-1)^2 + E(x-1)^3
Aqui, A, B, C, D e E são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos escrever a equação de decomposição:
x^3 + 3x + 2x^2(x-1)^3 = Ax + Bx^2 + Cx-1 + D(x-1)^2 + E(x-1)^3
Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados por x^2(x-1)^3:
x^3 + 3x + 2 = A cdot x cdot (x-1)^3 + B cdot (x-1)^3 + C cdot x^2 cdot (x-1)^2 + D cdot x^2 cdot (x-1) + E cdot x^2

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
  1. Expanda (x-1)^3 e (x-1)^2:
    • (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1
    • (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
  2. Substitua nas expressões:
    • A cdot x cdot (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = A x^4 - 3A x^3 + 3A x^2 - A x
    • B cdot (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = B x^3 - 3B x^2 + 3B x - B
    • C cdot x^2 cdot (x^2 - 2x + 1) = C x^4 - 2C x^3 + C x^2
    • D cdot x^2 cdot (x - 1) = D x^3 - D x^2
    • E cdot x^2 = E x^2
  3. Reúna todos os termos:
    A x^4 - 3A x^3 + 3A x^2 - A x + B x^3 - 3B x^2 + 3B x - B + C x^4 - 2C x^3 + C x^2 + D x^3 - D x^2 + E x^2

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos do lado esquerdo ( x^3 + 3x + 2) com os do lado direito:
  • Termo de x^4:
    A + C = 0
  • Termo de x^3:
    -3A + B - 2C + D = 1
  • Termo de x^2:
    3A - 3B + C - D + E = 0
  • Termo de x:
    -A + 3B = 3
  • Termo constante:
    -B = 2

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da constante:
    -B = 2 Rightarrow B = -2
  2. Do termo de x:
    -A + 3(-2) = 3 Rightarrow -A -6 = 3 Rightarrow -A = 9 Rightarrow A = -9
  3. Do termo de x^4:
    A + C = 0 Rightarrow -9 + C = 0 Rightarrow C = 9
  4. Do termo de x^3:
    -3(-9) + (-2) - 2(9) + D = 1 Rightarrow 27 -2 -18 + D = 1 Rightarrow 7 + D =1 Rightarrow D = -6
  5. Do termo de x^2:
    3(-9) -3(-2) + 9 - (-6) + E = 0 Rightarrow -27 +6 +9 +6 + E =0 Rightarrow -6 + E =0 Rightarrow E =6

Passo 7

Agora que encontramos os valores das constantes:
  • A = -9
  • B = -2
  • C = 9
  • D = -6
  • E = 6
Substituímos na decomposição inicial:
x^3+3 x+2x^2(x-1)^3 = -9x + -2x^2 + 9x-1 + -6(x-1)^2 + 6(x-1)^3

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral -9x , dx + integral -2x^2 , dx + integral 9x-1 , dx + integral -6(x-1)^2 , dx + integral 6(x-1)^3 , dx
Calculando cada integral:
  1. integral -9x , dx = -9 ln|x| + C1
  2. integral -2x^2 , dx = 2x + C2
  3. integral 9x-1 , dx = 9 ln|x-1| + C3
  4. integral -6(x-1)^2 , dx = 6x-1 + C4
  5. integral 6(x-1)^3 , dx = 3(x-1)^2 + C5

Resposta

Juntando todas as integrais, a solução final é:
integral x^3+3 x+2x^2(x-1)^3 , dx = -9 ln|x| + 2x + 9 ln|x-1| + 6x-1 + 3(x-1)^2 + C
Onde C é a constante de integração.

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