Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de frações parciais. Isso significa que vamos decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos entender como quebrar a expressão racional em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, observamos o denominador da fração: . Para decompor em frações parciais, devemos considerar todas as combinações possíveis de fatores do denominador. Como temos e , a decomposição será:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos escrever a equação de decomposição:
Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
  1. Expanda e :
  2. Substitua nas expressões:
  3. Reúna todos os termos:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos do lado esquerdo ( ) com os do lado direito:
  • Termo de :
  • Termo de :
  • Termo de :
  • Termo de :
  • Termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da constante:
  2. Do termo de :
  3. Do termo de :
  4. Do termo de :
  5. Do termo de :

Passo 7

Agora que encontramos os valores das constantes:
Substituímos na decomposição inicial:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando cada integral:

Resposta

Juntando todas as integrais, a solução final é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Calcular usando el método de sustitución:
Hallar a en cada caso para que se cumpla:
En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: