Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando o método de frações parciais. Isso significa que vamos decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos entender como quebrar a expressão racional em frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, observamos o denominador da fração:
. Para decompor em frações parciais, devemos considerar todas as combinações possíveis de fatores do denominador. Como temos
e
, a decomposição será:
Aqui,
,
,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos escrever a equação de decomposição:
Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
-
Expanda
e : -
-
Substitua nas expressões:
-
-
Reúna todos os termos:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos do lado esquerdo (
) com os do lado direito:
-
Termo de
:
-
Termo de
:
-
Termo de
:
-
Termo de
:
-
Termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
-
Da constante:
-
Do termo de
:
-
Do termo de
:
-
Do termo de
:
-
Do termo de
:
Passo 7
Agora que encontramos os valores das constantes:
Substituímos na decomposição inicial:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Resposta
Juntando todas as integrais, a solução final é:
Onde
é a constante de integração.
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Hallar a en cada caso para que se cumpla:
En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: