Calcular utilizando el método de sustitución (cambio de variable): integral 7 x^4(x^5+3)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de substituição, que é tipo trocar uma parte da expressão por uma nova variável para facilitar a conta. O que a gente tem aqui é:
integral 7 x^4(x^5+3)^5 , dx
Vamos precisar reconhecer uma parte que, ao ser substituída, simplifique a integral. Geralmente, a gente busca uma função dentro de outra (como ) e sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher nossa substituição. Olhando para o denominador u = x^5 + 3 , vamos chamar:
dudx = 5x^4
Agora, precisamos calcular a derivada de dx = du5x^4 em relação a para encontrar :
Então, isolando :

Passo 3

Vamos agora substituir tudo na nossa integral original. Substituindo integral 7 x^4u^5 cdot du5x^4 = integral 75 cdot 1u^5 , du e , temos:
Note que os cancelam, deixando a integral muito mais simples.

Passo 4

Agora, simplificamos a constante fora da integral:
75 integral u^-5 , du
Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . A regra básica de integração para é:
Onde é a constante de integração. Aplicando isso aqui:

Passo 5

Integrando 75 cdot u^-4-4 + C = -720 u^-4 + C :
Agora, substituímos de volta pela expressão original :

Passo 6

Substituindo -720 cdot 1(x^5 + 3)^4 + C de volta:

Resposta

A integral é igual a:
-720 cdot 1(x^5 + 3)^4 + C

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