Calcular usando el método de sustitución: integral0^1 e^-t^2 d t

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida
integral0^1 e^-t^2 , dt
usando o método de substituição. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente a técnica de substituição para resolver integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável que simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar fazer uma substituição que possa simplificar a integral. No método de substituição, escolhemos uma nova variável para substituir uma parte da integral, facilitando o cálculo. Vamos definir:
u = t^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudt = 2t Rightarrow du = 2t , dt Rightarrow dt = du2t em relação a para determinar :

Passo 4

Vamos substituir integral0^1 e^-t^2 , dt = integral0^1 e^-u cdot du2t e na integral original:
No entanto, aqui vemos que ainda temos um na expressão, o que não simplifica a integral como esperávamos. Isso significa que a substituição escolhida não é a mais adequada para resolver essa integral diretamente.

Passo 5

Na verdade, a integral erf(t) = 2raizpi integral0^t e^-x^2 , dx é conhecida por não ter uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. Por isso, ela está relacionada à função erro, denotada por , que é definida por:

Passo 6

Usando a definição da função erro, podemos expressar a integral dada em termos de integral0^1 e^-t^2 , dt = raizpi2 cdot erf(1) :

Passo 7

Para obter um valor numérico aproximado, podemos usar tabelas ou calculadoras que fornecem o valor de erf(1) approx 0,84270079295 . O valor aproximado é:
integral0^1 e^-t^2 , dt approx raizpi2 cdot 0,84270079295 approx 0,7468
Portanto:

Resposta

O valor aproximado da integral é .

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