Calcular utilizando el método de sustitución (cambio de variable): integral(x^4+5) 4 x^3 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral(x^4+5) 4 x^3 , dx usando o método de substituição, também conhecido como mudança de variável. Esse método é muito útil para simplificar integrais complicadas ao transformar a variável de integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que dentro da integral temos a expressão x^4 + 5 multiplicada por 4x^3. Perceba que a derivada de x^4 + 5 em relação a x é 4x^3, que é exatamente o outro fator presente na integral. Isso sugere que podemos usar x^4 + 5 como nossa substituição.

Passo 3

Definimos a substituição da seguinte forma:
u = x^4 + 5
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de u em relação a x:
dudx = 4x^3
Multiplicando ambos os lados por dx, temos:
du = 4x^3 , dx
Isso significa que 4x^3 , dx pode ser substituído por du na integral.

Passo 5

Substituímos u e du na integral original:
integral(x^4+5) 4 x^3 , dx = integral u , du
Agora, a integral está muito mais simples!

Passo 6

Calculamos a integral de u em relação a u:
integral u , du = u^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
u^22 + C = (x^4 + 5)^22 + C

Resposta

A integral integral(x^4+5) 4 x^3 , dx é igual a (x^4 + 5)^22 + C.

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