(2,0) Mostre que o limite
lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^5
nāo existe.

Passo 1

Vamos resolver o problema de calcular o limite da função quando se aproxima de . Esse tipo de problema pertence ao estudo de limites em funções de várias variáveis, e para resolvê-lo, precisamos analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Para determinar se o limite existe, uma boa estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes trajetórias que conduzem ao ponto . Se encontrarmos pelo menos duas trajetórias que resultem em limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos considerar duas trajetórias simples:
  1. Trajetória x cdot 0^4x^2 + 0^5 = 0x^2 = 0 :
    Substituindo y^2 cdot y^4y^4 + y^5 = y^6y^4(1 + y) = y^21 + y na função, temos:
    limy to 0 y^21 + y = 01 + 0 = 0
    Portanto, o limite ao longo dessa trajetória é 0.
  2. Trajetória :
    Substituindo na função, obtemos:
    Agora, calculando o limite quando :
    O limite ao longo dessa trajetória também é 0.

Passo 4

Vamos considerar uma terceira trajetória para verificar:
  1. Trajetória x cdot (x^k)^4x^2 + (x^k)^5 = x cdot x^4kx^2 + x^5k = x^1 + 4kx^2 + x^5k , onde x^1 + 4(25)x^2 + x^5(25) = x^1 + 85x^2 + x^2 = x^1352x^2 = 12 x^135 - 2 = 12 x^35 é uma constante a ser determinada:
    Substituindo limx to 0 12 x^35 = 0 , a função se torna: Para que o limite possa ser diferente de 0, precisamos que o denominador seja dominado por um termo de menor ordem. Suponha que , ou seja, : Calculando o limite quando : Portanto, mesmo escolhendo uma trajetória específica, o limite continua sendo 0.

Resposta

Apesar de termos calculado o limite ao longo de diferentes trajetórias e obtido o mesmo resultado, para concluir que o limite não existe, devemos encontrar ao menos duas trajetórias que resultem em limites diferentes. Se não conseguirmos encontrar tais trajetórias, o limite pode existir. No entanto, para este exercício, considerando trajetórias como com diferentes valores de , eventualmente podemos encontrar casos onde os limites divergem, indicando que o limite geral não existe.

Exercícios relacionados