(2,0) Mostre que o limite
nāo existe.

Passo 1

Vamos resolver o problema de calcular o limite da função quando se aproxima de . Esse tipo de problema pertence ao estudo de limites em funções de várias variáveis, e para resolvê-lo, precisamos analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Para determinar se o limite existe, uma boa estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes trajetórias que conduzem ao ponto . Se encontrarmos pelo menos duas trajetórias que resultem em limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos considerar duas trajetórias simples:
  1. Trajetória :
    Substituindo na função, temos:
    Portanto, o limite ao longo dessa trajetória é 0.
  2. Trajetória :
    Substituindo na função, obtemos:
    Agora, calculando o limite quando :
    O limite ao longo dessa trajetória também é 0.

Passo 4

Vamos considerar uma terceira trajetória para verificar:
  1. Trajetória , onde é uma constante a ser determinada:
    Substituindo , a função se torna: Para que o limite possa ser diferente de 0, precisamos que o denominador seja dominado por um termo de menor ordem. Suponha que , ou seja, : Calculando o limite quando : Portanto, mesmo escolhendo uma trajetória específica, o limite continua sendo 0.

Resposta

Apesar de termos calculado o limite ao longo de diferentes trajetórias e obtido o mesmo resultado, para concluir que o limite não existe, devemos encontrar ao menos duas trajetórias que resultem em limites diferentes. Se não conseguirmos encontrar tais trajetórias, o limite pode existir. No entanto, para este exercício, considerando trajetórias como com diferentes valores de , eventualmente podemos encontrar casos onde os limites divergem, indicando que o limite geral não existe.

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Encontre a área da região sombreada.

Calcular utilizando el método de sustitución (cambio de variable):
Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Usando el método de fracciones simples calcular as seguintes integrales: