(2,0) Mostre que o limite
nāo existe.
Passo 1
Vamos resolver o problema de calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse tipo de problema pertence ao estudo de limites em funções de várias variáveis, e para resolvê-lo, precisamos analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Para determinar se o limite existe, uma boa estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes trajetórias que conduzem ao ponto
. Se encontrarmos pelo menos duas trajetórias que resultem em limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos considerar duas trajetórias simples:
-
Trajetória
:
Substituindona função, temos: Portanto, o limite ao longo dessa trajetória é 0. -
Trajetória
:
Substituindona função, obtemos: Agora, calculando o limite quando: O limite ao longo dessa trajetória também é 0.
Passo 4
Vamos considerar uma terceira trajetória para verificar:
- Trajetória
, onde é uma constante a ser determinada:
Substituindo, a função se torna: Para que o limite possa ser diferente de 0, precisamos que o denominador seja dominado por um termo de menor ordem. Suponha que , ou seja, : Calculando o limite quando : Portanto, mesmo escolhendo uma trajetória específica, o limite continua sendo 0.
Resposta
Apesar de termos calculado o limite ao longo de diferentes trajetórias e obtido o mesmo resultado, para concluir que o limite não existe, devemos encontrar ao menos duas trajetórias que resultem em limites diferentes. Se não conseguirmos encontrar tais trajetórias, o limite pode existir. No entanto, para este exercício, considerando trajetórias como
com diferentes valores de
, eventualmente podemos encontrar casos onde os limites divergem, indicando que o limite geral não existe.
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