Calcular utilizando el método de sustitución (cambio de variable): integral(x^2-4 x)(2 x-4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição. Esse método é usado quando a integral tem uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A gente vai precisar identificar uma parte da expressão que seja uma boa candidata para substituir por uma nova variável .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da expressão compensa substituir. Observando u = x^2 - 4x e du = ddx(x^2 - 4x) , dx = (2x - 4) , dx , percebo que é a derivada de . Isso é ótimo porque no método de substituição, queremos que seja presente na integral. Então, vamos definir:
Agora, vamos calcular :

Passo 3

Agora que temos integral(x^2 - 4x)(2x - 4) , dx = integral u , du e integral u , du = u^22 + C , vamos reescrever a integral em termos de :
Essa integral é bem mais simples! Vamos integrá-la:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Por fim, precisamos voltar à variável original u^22 + C = (x^2 - 4x)^22 + C substituindo :

Resposta

integral(x^2 - 4x)(2x - 4) , dx = (x^2 - 4x)^22 + C

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