Hallar la primitiva F(x) de la función f(x) = 1/(4*x^2 + 1) que cumple que F(1/2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primitiva da função . Basicamente, isso significa achar uma função cuja derivada seja . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais que envolvem funções quadráticas no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a integral de uma função do tipo . A integral padrão que a gente usa aqui é:
Onde é uma constante e é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, a função tem , então . Vamos aplicar a fórmula:
Então, a primitiva é:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial que foi dada: . Vamos substituir na nossa expressão de :
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Resposta

Portanto, a primitiva que procuramos é:

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