Calcular o valor de a para que a função dada abaixo seja contínua.
f(x, y)=cl (x^2+2 a cos (x+y))(x^2+y^2)raizx^2+y^2+1-1+sen(x^4+y^2)x^4+y^2 & se (x, y) neq(0,0) a^2+5 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . A matéria que vamos usar aqui é de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e igualar esse limite ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x, y) = (x^2+2 a cos (x+y))(x^2+y^2)raizx^2+y^2+1-1 + sen(x^4+y^2)x^4+y^2 para :
Queremos calcular o limite dessa expressão quando .

Passo 3

Vamos dividir o limite em duas partes para facilitar:
  1. Primeira parte:
(x^2+2 a cos (x+y))(x^2+y^2)raizx^2+y^2+1-1
Quando (x^2+2 a cdot 1)(x^2+y^2)(1 + x^2+y^22) -1 = (x^2 + 2a)(x^2 + y^2)x^2+y^22 = 2(x^2 + 2a) está perto de sen(x^4+y^2)x^4+y^2 , podemos aproximar e (usando a expansão de Taylor). Substituindo, a expressão fica:
Quando , e vão para 0, então essa parte tende a .
  1. Segunda parte:
Sabemos que . Aqui, , que também vai para 0 quando . Então, essa parte tende a 1.

Passo 4

Somando as duas partes, o limite total de 4a + 1 quando 4a + 1 = a^2 + 5 é:
Para que a função seja contínua em , esse limite deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é . Então, temos:

Passo 5

Resolvendo a equação:
a^2 - 4a + 4 = 0
Essa é uma equação quadrática que pode ser fatorada como:
(a - 2)^2 = 0
Portanto, a única solução é:
a = 2

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

Exercícios relacionados

Seja f definida por
f(x, y) = { (x^2 - y) * y / x^4 se 0 < y < x^2; 0 em outro caso. }
Prove que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende para (0,0), não existe.
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (-3,-2) y+2x^2+y^2-13.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (12, 2) (6 x^2+5 x-4) sen(pi y)(2-y)(4 x^2+16 x-9).
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (5,6) (x-5)^2(y-6)^2(x-5)^2+(y-6)^4.