Calcular o valor de para que a função dada abaixo seja contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . A matéria que vamos usar aqui é de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e igualar esse limite ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função f(x, y) = (x^2+2 a cos (x+y))(x^2+y^2)raizx^2+y^2+1-1 + sen(x^4+y^2)x^4+y^2 para :
Queremos calcular o limite dessa expressão quando .
Passo 3
Vamos dividir o limite em duas partes para facilitar:
Primeira parte:
(x^2+2 a cos (x+y))(x^2+y^2)raizx^2+y^2+1-1
Quando (x^2+2 a cdot 1)(x^2+y^2)(1 + x^2+y^22) -1 = (x^2 + 2a)(x^2 + y^2)x^2+y^22 = 2(x^2 + 2a) está perto de sen(x^4+y^2)x^4+y^2 , podemos aproximar e (usando a expansão de Taylor). Substituindo, a expressão fica:
Quando , e vão para 0, então essa parte tende a .
Segunda parte:
Sabemos que . Aqui, , que também vai para 0 quando . Então, essa parte tende a 1.
Passo 4
Somando as duas partes, o limite total de 4a + 1 quando 4a + 1 = a^2 + 5 é:
Para que a função seja contínua em , esse limite deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é . Então, temos:
Passo 5
Resolvendo a equação:
a^2 - 4a + 4 = 0
Essa é uma equação quadrática que pode ser fatorada como: