Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite de funções de duas variáveis. A gente quer ver se o limite quando
se aproxima de
da função
existe ou não. Para isso, vamos testar diferentes caminhos que chegam nesse ponto e ver se os limites são iguais. Se não forem, o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função e o ponto de interesse. A função é:
E queremos analisar o comportamento dela quando
.
Passo 3
Vamos escolher o primeiro caminho: manter
e deixar
se aproximar de
. Nesse caso, substituímos
por
na função:
Passo 4
Agora, calculamos o limite nesse caminho quando
:
Aqui, a expressão fica indeterminada, mas como o numerador é sempre zero, o limite é igual a zero.
Passo 5
Vamos escolher um segundo caminho diferente. Agora, vamos fixar
e deixar
se aproximar de
. Substituindo
por
:
Podemos fatorar o denominador:
Então:
Passo 6
Calculamos o limite nesse segundo caminho quando
:
Resposta
Como obtivemos limites diferentes (
e
) ao nos aproximarmos de
por caminhos diferentes, concluímos que o limite geral não existe.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Seja
definida por
Prove que o limite de
quando
tende para
, não existe.
Calcular o valor de
para que a função dada abaixo seja contínua.