Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (-3,-2) y+2x^2+y^2-13.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de funções de duas variáveis. A gente quer ver se o limite quando se aproxima de da função existe ou não. Para isso, vamos testar diferentes caminhos que chegam nesse ponto e ver se os limites são iguais. Se não forem, o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função e o ponto de interesse. A função é:
f(x, y) = y + 2x^2 + y^2 - 13
E queremos analisar o comportamento dela quando .

Passo 3

Vamos escolher o primeiro caminho: manter f(x, -2) = -2 + 2x^2 + (-2)^2 - 13 = 0x^2 + 4 - 13 = 0x^2 - 9 e deixar se aproximar de . Nesse caso, substituímos por na função:

Passo 4

Agora, calculamos o limite nesse caminho quando limx to -3 0x^2 - 9 = 0(-3)^2 - 9 = 09 - 9 = 00 :
Aqui, a expressão fica indeterminada, mas como o numerador é sempre zero, o limite é igual a zero.

Passo 5

Vamos escolher um segundo caminho diferente. Agora, vamos fixar f(-3, y) = y + 2(-3)^2 + y^2 - 13 = y + 29 + y^2 - 13 = y + 2y^2 - 4 e deixar y^2 - 4 = (y - 2)(y + 2) se aproximar de f(-3, y) = y + 2(y - 2)(y + 2) = 1y - 2 . Substituindo por :
Podemos fatorar o denominador:
Então:

Passo 6

Calculamos o limite nesse segundo caminho quando limy to -2 1y - 2 = 1-2 - 2 = 1-4 = -14 :

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ( e ) ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Exercícios relacionados