Seja f definida por
f(x, y) = { (x^2 - y) * y / x^4 se 0 < y < x^2; 0 em outro caso. }
Prove que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende para (0,0), não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite da função quando se aproxima de não existe. Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Isso significa que, dependendo dos valores de e , a função pode ter duas expressões diferentes. Nosso objetivo é verificar se o limite dessa função existe quando se aproxima de .

Passo 3

Uma maneira eficaz de provar que um limite não existe é mostrar que o valor do limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto . Se conseguirmos encontrar dois caminhos diferentes que resultam em limites distintos, então o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos considerar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho 1:
  2. Caminho 2: , onde é uma constante diferente de 1.
Vamos calcular o limite de para cada um desses caminhos.

Passo 5

Caminho 1:
Substituindo na expressão da função:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 6

Caminho 2: , onde
Substituindo na expressão da função:
Note que, para , esse limite é igual a , que pode assumir diferentes valores dependendo de .

Passo 7

Agora, observamos que no Caminho 1 o limite é 0, e no Caminho 2 o limite é . Se escolhermos valores diferentes de , obteremos limites diferentes. Por exemplo:
  • Para : o limite é 0.
  • Para : o limite é .
Esses limites são diferentes, o que significa que o valor do limite total depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite de quando tende para não existe.

Exercícios relacionados