Seja
definida por
Prove que o limite de
quando
tende para
, não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida:
Isso significa que, dependendo dos valores de
e
, a função pode ter duas expressões diferentes. Nosso objetivo é verificar se o limite dessa função existe quando
se aproxima de
.
Passo 3
Uma maneira eficaz de provar que um limite não existe é mostrar que o valor do limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto
. Se conseguirmos encontrar dois caminhos diferentes que resultam em limites distintos, então o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos considerar dois caminhos diferentes:
- Caminho 1:
- Caminho 2:
, onde é uma constante diferente de 1.
Vamos calcular o limite de
para cada um desses caminhos.
Passo 5
Caminho 1:
Substituindo
na expressão da função:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
Passo 6
Caminho 2:
, onde
Substituindo
na expressão da função:
Note que, para
, esse limite é igual a
, que pode assumir diferentes valores dependendo de
.
Passo 7
Agora, observamos que no Caminho 1 o limite é 0, e no Caminho 2 o limite é
. Se escolhermos valores diferentes de
, obteremos limites diferentes. Por exemplo:
- Para
: o limite é 0. - Para
: o limite é .
Esses limites são diferentes, o que significa que o valor do limite total depende do caminho escolhido.
Resposta
O limite de
quando
tende para
não existe.