Prove que o limite de quando tende para , não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite da função quando se aproxima de não existe. Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Isso significa que, dependendo dos valores de e , a função pode ter duas expressões diferentes. Nosso objetivo é verificar se o limite dessa função existe quando se aproxima de .
Passo 3
Uma maneira eficaz de provar que um limite não existe é mostrar que o valor do limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto . Se conseguirmos encontrar dois caminhos diferentes que resultam em limites distintos, então o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos considerar dois caminhos diferentes:
Caminho 1:
Caminho 2:, onde é uma constante diferente de 1.
Vamos calcular o limite de para cada um desses caminhos.
Passo 5
Caminho 1:
Substituindo na expressão da função:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
Passo 6
Caminho 2:, onde
Substituindo na expressão da função:
Note que, para , esse limite é igual a , que pode assumir diferentes valores dependendo de .
Passo 7
Agora, observamos que no Caminho 1 o limite é 0, e no Caminho 2 o limite é . Se escolhermos valores diferentes de , obteremos limites diferentes. Por exemplo:
Para : o limite é 0.
Para : o limite é .
Esses limites são diferentes, o que significa que o valor do limite total depende do caminho escolhido.