Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (12, 2) (6 x^2+5 x-4) sen(pi y)(2-y)(4 x^2+16 x-9).

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular um limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como substituição e simplificação de expressões. Precisamos analisar o comportamento da função perto desse ponto para ver se o limite existe e, se sim, qual é o valor.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores 6x^2 + 5x - 4 quando x = 12 e 6(12)^2 + 5(12) - 4 = 6(14) + 52 - 4 = 32 + 52 - 4 = 4 - 4 = 0 na função para ver o que acontece com o numerador e o denominador.
Numerador:
sin(pi cdot 2) = sin(2pi) = 0
(2 - y)(4x^2 + 16x - 9) quando y = 2 e x = 12
Agora, a função (2 - 2)(4(12)^2 + 16(12) - 9) = 0 times (4 cdot 14 + 8 - 9) = 0 times (1 + 8 - 9) = 0 times 0 = 0 quando :
Então, o numerador se torna .
Denominador:
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar ou manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Numerador:
6x^2 + 5x - 4
Vamos fatorar:
6x^2 + 5x - 4 = (3x - 2)(2x + 2)
Denominador:
4x^2 + 16x - 9
Vamos fatorar:
4x^2 + 16x - 9 = (2x - 1)(2x + 9)
Agora, nossa expressão fica:
(3x - 2)(2x + 2) cdot sin(pi y)(2 - y)(2x - 1)(2x + 9)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Observamos que (3x - 2)(2x + 2) cdot sin(pi y)-(y - 2)(2x - 1)(2x + 9) = -(3x - 2)(2x + 2) cdot sin(pi y)(y - 2)(2x - 1)(2x + 9) pode ser relacionado a 3x - 2 = 3(x - 23) , o ponto para o qual estamos calculando o limite.
Vamos reescrever 2x - 1 = 2(x - 12) como para facilitar:
Agora, podemos observar que e estão relacionados:
Ainda assim, isso não simplifica diretamente a expressão. Vamos considerar o comportamento de quando se aproxima de 2.

Passo 5

Sabemos que quando -(3x - 2)(2x + 2) cdot pi (y - 2)(y - 2)(2x - 1)(2x + 9) = -(3x - 2)(2x + 2) cdot pi(2x - 1)(2x + 9) se aproxima de 2, se aproxima de . Podemos usar a aproximação de que para valores próximos a 2, usando a expansão de Taylor.
Então, substituindo na expressão:
Agora, o termo cancela no numerador e denominador.

Passo 6

Agora, podemos substituir -(3(12) - 2)(2(12) + 2) cdot pi(2(12) - 1)(2(12) + 9) na expressão simplificada:
-( 32 - 2 )(1 + 2)(1 - 1)(1 + 9)
-( -12 )(3)(0)(10)
Ops! Temos uma divisão por zero novamente. Isso indica que nossa simplificação anterior pode não ter sido suficiente ou que o limite não existe.

Passo 7

Vamos tentar abordar de outra forma. Observando a expressão original:
(6x^2 + 5x - 4)sin(pi y)(2 - y)(4x^2 + 16x - 9)
Podemos tentar ver se o numerador e denominador têm um fator comum que elimina a indeterminação. Calculando o limite diretamente pode não funcionar, então podemos usar caminhos diferentes para se aproximar de (6x^2 + 5x - 4)sin(2pi)(2 - 2)(4x^2 + 16x - 9) = 00 .
Vamos tentar aproximar de 2 primeiro. Se fizermos , a expressão fica:
Ainda indeterminado. Vamos tentar se aproximar por e ver o comportamento.

Passo 8

Vamos considerar (6x^2 + 5x - 4)sin(pi (2 + h))(2 - (2 + h))(4x^2 + 16x - 9) = (6x^2 + 5x - 4)sin(2pi + pi h)-h(4x^2 + 16x - 9) , onde approx (6x^2 + 5x - 4)(pi h)-h(4x^2 + 16x - 9) = -(6x^2 + 5x - 4)pi4x^2 + 16x - 9 se aproxima de 0.
Substituindo na função:
-(6(12)^2 + 5(12) - 4)pi4(12)^2 + 16(12) - 9
Sabemos que -(6 cdot 14 + 52 - 4)pi4 cdot 14 + 8 - 9 quando -(32 + 52 - 4)pi1 + 8 - 9 = -(4 - 4)pi0 = 00 é pequeno.
Então:
Agora podemos substituir :
Ainda não conseguimos resolver, o que sugere que o limite pode não existir.

Resposta

O limite não existe.

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Calcular o valor de a para que a função dada abaixo seja contínua.
f(x, y)=cl (x^2+2 a cos (x+y))(x^2+y^2)raizx^2+y^2+1-1+sen(x^4+y^2)x^4+y^2 & se (x, y) neq(0,0) a^2+5 & se (x, y)=(0,0)
Seja f definida por
f(x, y) = { (x^2 - y) * y / x^4 se 0 < y < x^2; 0 em outro caso. }
Prove que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende para (0,0), não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (5,6) (x-5)^2(y-6)^2(x-5)^2+(y-6)^4.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,1) arcsen(x y-2)arctan (3 x y-6).