Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Beleza! A gente tem que calcular um limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como substituição e simplificação de expressões. Precisamos analisar o comportamento da função perto desse ponto para ver se o limite existe e, se sim, qual é o valor.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores
e
na função para ver o que acontece com o numerador e o denominador.
Numerador:
Agora, a função
quando
:
Então, o numerador se torna
.
Denominador:
Então, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos simplificar ou manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Numerador:
Vamos fatorar:
Denominador:
Vamos fatorar:
Agora, nossa expressão fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Observamos que
pode ser relacionado a
, o ponto para o qual estamos calculando o limite.
Vamos reescrever
como
para facilitar:
Agora, podemos observar que
e
estão relacionados:
Ainda assim, isso não simplifica diretamente a expressão. Vamos considerar o comportamento de
quando
se aproxima de 2.
Passo 5
Sabemos que quando
se aproxima de 2,
se aproxima de
. Podemos usar a aproximação de que
para valores próximos a 2, usando a expansão de Taylor.
Então, substituindo na expressão:
Agora, o termo
cancela no numerador e denominador.
Passo 6
Agora, podemos substituir
na expressão simplificada:
Ops! Temos uma divisão por zero novamente. Isso indica que nossa simplificação anterior pode não ter sido suficiente ou que o limite não existe.
Passo 7
Vamos tentar abordar de outra forma. Observando a expressão original:
Podemos tentar ver se o numerador e denominador têm um fator comum que elimina a indeterminação. Calculando o limite diretamente pode não funcionar, então podemos usar caminhos diferentes para se aproximar de
.
Vamos tentar aproximar
de 2 primeiro. Se fizermos
, a expressão fica:
Ainda indeterminado. Vamos tentar se aproximar por
e ver o comportamento.
Passo 8
Vamos considerar
, onde
se aproxima de 0.
Substituindo na função:
Sabemos que
quando
é pequeno.
Então:
Agora podemos substituir
:
Ainda não conseguimos resolver, o que sugere que o limite pode não existir.
Resposta
O limite não existe.