Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. .
Passo 1
Beleza! A gente tem que calcular um limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como substituição e simplificação de expressões. Precisamos analisar o comportamento da função perto desse ponto para ver se o limite existe e, se sim, qual é o valor.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores e na função para ver o que acontece com o numerador e o denominador.
Numerador:
Agora, a função quando :
Então, o numerador se torna .
Denominador:
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar ou manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Numerador:
Vamos fatorar:
Denominador:
Vamos fatorar:
Agora, nossa expressão fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Observamos que pode ser relacionado a , o ponto para o qual estamos calculando o limite.
Vamos reescrever como para facilitar:
Agora, podemos observar que e estão relacionados:
Ainda assim, isso não simplifica diretamente a expressão. Vamos considerar o comportamento de quando se aproxima de 2.
Passo 5
Sabemos que quando se aproxima de 2, se aproxima de . Podemos usar a aproximação de que para valores próximos a 2, usando a expansão de Taylor.
Então, substituindo na expressão:
Agora, o termo cancela no numerador e denominador.
Passo 6
Agora, podemos substituir na expressão simplificada:
Ops! Temos uma divisão por zero novamente. Isso indica que nossa simplificação anterior pode não ter sido suficiente ou que o limite não existe.
Passo 7
Vamos tentar abordar de outra forma. Observando a expressão original:
Podemos tentar ver se o numerador e denominador têm um fator comum que elimina a indeterminação. Calculando o limite diretamente pode não funcionar, então podemos usar caminhos diferentes para se aproximar de .
Vamos tentar aproximar de 2 primeiro. Se fizermos , a expressão fica:
Ainda indeterminado. Vamos tentar se aproximar por e ver o comportamento.
Passo 8
Vamos considerar , onde se aproxima de 0.
Substituindo na função:
Sabemos que quando é pequeno.
Então:
Agora podemos substituir :
Ainda não conseguimos resolver, o que sugere que o limite pode não existir.