Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (5,6) (x-5)^2(y-6)^2(x-5)^2+(y-6)^4.

Passo 1

Vamos analisar o limite da função lim (x, y) (5,6) (x-5)^2(y-6)^2(x-5)^2+(y-6)^4. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar usar abordagens como trajetórias diferentes ou estimativas para entender o comportamento da função perto do ponto (5,6).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão centralizando as variáveis no ponto (5,6). Vamos definir:
h = x - 5 k = y - 6
Com essas substituições, o limite fica:
lim (h, k) (0,0) h^2k^2h^2+k^4

Passo 3

Para determinar se o limite existe, vamos verificar se o valor da função tende para o mesmo número independente do caminho pelo qual (h, k) se aproxima de (0,0).
Vamos analisar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho 1: Aproximando-se de (0,0) ao longo do eixo h (ou seja, k = 0).
    Substituindo k = 0 na função:
    f(h,0) = h^2 cdot 0^2h^2 + 0^4 = 0
    Portanto, ao longo deste caminho, o limite é 0.
  2. Caminho 2: Aproximando-se de (0,0) ao longo do eixo k (ou seja, h = 0).
    Substituindo h = 0 na função:
    f(0,k) = 0^2 cdot k^20^2 + k^4 = 0
    Novamente, o limite é 0.

Passo 4

Embora os limites ao longo desses dois caminhos sejam iguais a zero, precisamos garantir que o limite seja o mesmo para quaisquer trajetórias. Vamos utilizar uma estimativa para afirmar isso.
Observamos que:
f(h,k) = h^2k^2h^2+k^4 <= h^2k^2k^4 = h^2k^2
Além disso, sabemos que:
f(h,k) <= k^2
Quando (h, k) se aproxima de (0,0), tanto h^2k^2 quanto k^2 tendem a 0, desde que h e k tendam a 0 de forma adequada. Portanto, podemos concluir que:
lim (h, k) (0,0) h^2k^2h^2+k^4 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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