Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. .
Passo 1
Vamos analisar o limite da função . Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar usar abordagens como trajetórias diferentes ou estimativas para entender o comportamento da função perto do ponto (5,6).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão centralizando as variáveis no ponto (5,6). Vamos definir:
Com essas substituições, o limite fica:
Passo 3
Para determinar se o limite existe, vamos verificar se o valor da função tende para o mesmo número independente do caminho pelo qual (h, k) se aproxima de (0,0).
Vamos analisar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: Aproximando-se de (0,0) ao longo do eixo h (ou seja, k = 0).
Substituindo k = 0 na função:
Portanto, ao longo deste caminho, o limite é 0.
Caminho 2: Aproximando-se de (0,0) ao longo do eixo k (ou seja, h = 0).
Substituindo h = 0 na função:
Novamente, o limite é 0.
Passo 4
Embora os limites ao longo desses dois caminhos sejam iguais a zero, precisamos garantir que o limite seja o mesmo para quaisquer trajetórias. Vamos utilizar uma estimativa para afirmar isso.
Observamos que:
Além disso, sabemos que:
Quando (h, k) se aproxima de (0,0), tanto quanto tendem a 0, desde que h e k tendam a 0 de forma adequada. Portanto, podemos concluir que: