Calcular o valor de a para que a função
seja contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de e , e queremos descobrir o valor de para que essa função seja contínua no ponto . A função é definida de dois jeitos: um para qualquer ponto diferente de e outro especificamente para . Para garantir a continuidade, o limite da função quando se aproxima de precisa ser igual ao valor que a função tem exatamente nesse ponto, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função para :
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, e quando , .

Passo 4

Substituindo na função:
Simplificando:

Passo 5

Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, o termo:
Quando é pequeno, usamos as aproximações:
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, substituindo de volta:
Quando , os termos com vão para zero. Então, o limite da função é:

Passo 7

Para a função ser contínua em , esse limite precisa ser igual a :
Resolvendo a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Como , há uma única solução:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
b)
Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
e)
Seja uma função 2 -vezes diferenciável tal que:
Considerando a função definido por:
Calcular .
(Sugestão: Regra da Cadeia, II Forma)