Calcular o valor de a para que a função
f(x, y)=cc (x+3 a) sen(x^2+y^2)raizx^2+y^2+1-1+x^3+y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) a^2+9 & se (x, y)=(0,0)
seja contínua em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de e , e queremos descobrir o valor de para que essa função seja contínua no ponto . A função é definida de dois jeitos: um para qualquer ponto diferente de e outro especificamente para . Para garantir a continuidade, o limite da função quando se aproxima de precisa ser igual ao valor que a função tem exatamente nesse ponto, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = a^2 + 9

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função para f(x, y) = (x + 3a) sin(x^2 + y^2)raizx^2 + y^2 + 1 - 1 + x^3 + y^3x^2 + y^2 :
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, e quando , .

Passo 4

Substituindo na função:
f(r, theta) = (r costheta + 3a) sin(r^2)raizr^2 + 1 - 1 + r^3 (cos^3theta + sin^3theta)r^2
Simplificando:
f(r, theta) = (r costheta + 3a) sin(r^2)raizr^2 + 1 - 1 + r (cos^3theta + sin^3theta)

Passo 5

Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, o termo:
sin(r^2)raizr^2 + 1 - 1
Quando sin(r^2) approx r^2 e raizr^2 + 1 approx 1 + r^22 é pequeno, usamos as aproximações:
raizr^2 + 1 - 1 approx r^22
Então:
sin(r^2)raizr^2 + 1 - 1 approx r^2r^22 = 2
Portanto:

Passo 6

Agora, substituindo de volta:
f(r, theta) approx (r costheta + 3a) cdot 2 + r (cos^3theta + sin^3theta) = 2r costheta + 6a + r (cos^3theta + sin^3theta)
Quando limr to 0 f(r, theta) = 6a , os termos com vão para zero. Então, o limite da função é:

Passo 7

Para a função ser contínua em 6a = a^2 + 9 , esse limite precisa ser igual a a^2 - 6a + 9 = 0 :
De
Resolvendo a equação quadrática:
a = 62 = 3
Calculando o discriminante:
Como , há uma única solução:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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