Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de e , e queremos descobrir o valor de para que essa função seja contínua no ponto . A função é definida de dois jeitos: um para qualquer ponto diferente de e outro especificamente para . Para garantir a continuidade, o limite da função quando se aproxima de precisa ser igual ao valor que a função tem exatamente nesse ponto, que é .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função para :
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, e quando , .
Passo 4
Substituindo na função:
Simplificando:
Passo 5
Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, o termo:
Quando é pequeno, usamos as aproximações:
Então:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituindo de volta:
Quando , os termos com vão para zero. Então, o limite da função é:
Passo 7
Para a função ser contínua em , esse limite precisa ser igual a :