Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente análise de caminhos diferentes para ver se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando nos aproximamos de pelo eixo . Isso significa que . Substituindo na função:
Então, pelo eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos ver o que ocorre se nos aproximarmos pelo eixo , ou seja, . Substituindo na função:
Pelo eixo , o limite também é 0.

Passo 4

Até aqui, o limite parece ser 0 pelos eixos. Mas para ter certeza de que o limite existe de verdade, precisamos verificar se o resultado é o mesmo por qualquer caminho que levemos até . Vamos tentar um caminho onde , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Aqui, vemos que o limite depende do valor de . Isso significa que dependendo do caminho que escolhemos (o valor de ), o limite pode variar.

Passo 5

Como o limite depende do caminho seguido para , isso indica que o limite geral não existe. Se o limite existisse, ele teria que ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.

Resposta

O limite não existe porque ele depende do caminho escolhido para se aproximar de .

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Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
b)
Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
i)
Calcular o valor de a para que a função
seja contínua em .
Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
e)