Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x y^5x^6+y^6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente análise de caminhos diferentes para ver se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando nos aproximamos de x cdot 0^5x^6+0^6 = 0x^6 = 0 pelo eixo . Isso significa que . Substituindo na função:
Então, pelo eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos ver o que ocorre se nos aproximarmos pelo eixo 0 cdot y^50^6+y^6 = 0y^6 = 0 , ou seja, . Substituindo na função:
Pelo eixo , o limite também é 0.

Passo 4

Até aqui, o limite parece ser 0 pelos eixos. Mas para ter certeza de que o limite existe de verdade, precisamos verificar se o resultado é o mesmo por qualquer caminho que levemos até x cdot (k x)^5x^6 + (k x)^6 = x cdot k^5 x^5x^6 + k^6 x^6 = k^5 x^6x^6(1 + k^6) = k^51 + k^6 . Vamos tentar um caminho onde , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Aqui, vemos que o limite depende do valor de . Isso significa que dependendo do caminho que escolhemos (o valor de ), o limite pode variar.

Passo 5

Como o limite depende do caminho seguido para , isso indica que o limite geral não existe. Se o limite existisse, ele teria que ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.

Resposta

O limite não existe porque ele depende do caminho escolhido para se aproximar de .

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