Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente análise de caminhos diferentes para ver se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando nos aproximamos de pelo eixo . Isso significa que . Substituindo na função:
Então, pelo eixo , o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos ver o que ocorre se nos aproximarmos pelo eixo , ou seja, . Substituindo na função:
Pelo eixo , o limite também é 0.
Passo 4
Até aqui, o limite parece ser 0 pelos eixos. Mas para ter certeza de que o limite existe de verdade, precisamos verificar se o resultado é o mesmo por qualquer caminho que levemos até . Vamos tentar um caminho onde , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Aqui, vemos que o limite depende do valor de . Isso significa que dependendo do caminho que escolhemos (o valor de ), o limite pode variar.
Passo 5
Como o limite depende do caminho seguido para , isso indica que o limite geral não existe. Se o limite existisse, ele teria que ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.
Resposta
O limite não existe porque ele depende do caminho escolhido para se aproximar de .