Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente análise de caminhos diferentes para ver se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando nos aproximamos de
pelo eixo
. Isso significa que
. Substituindo na função:
Então, pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos ver o que ocorre se nos aproximarmos pelo eixo
, ou seja,
. Substituindo na função:
Pelo eixo
, o limite também é 0.
Passo 4
Até aqui, o limite parece ser 0 pelos eixos. Mas para ter certeza de que o limite existe de verdade, precisamos verificar se o resultado é o mesmo por qualquer caminho que levemos até
. Vamos tentar um caminho onde
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
Aqui, vemos que o limite depende do valor de
. Isso significa que dependendo do caminho que escolhemos (o valor de
), o limite pode variar.
Passo 5
Como o limite depende do caminho seguido para
, isso indica que o limite geral não existe. Se o limite existisse, ele teria que ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.
Resposta
O limite não existe porque ele depende do caminho escolhido para se aproximar de
.